Portal de Periódicos da CAPES

Verso la teoria dei modelli: alcune conseguenze del teorema di compattezza

2014; Springer International Publishing; Linguagem: Italiano

10.1007/978-88-470-5538-4_5

2532-3318

Vito Michele Abrusci, Lorenzo Tortora de Falco,

Advanced Algebra and Logic

In modo simile a quanto fatto passando dal Capitolo 3 al Capitolo 4, spostiamo in questo capitolo la nostra attenzione dallo studio della proprietà di soddisfacibilità di una formula o di una teoria del primo ordine allo studio delle strutture per il linguaggio che soddisfano la formula o la teoria. Tale studio è l’oggetto di quella branca della logica che porta il nome di teoria dei modelli. Abbiamo visto nel Capitolo 3 come associare ad ogni linguaggio del primo ordine le strutture per tale linguaggio, e ad ogni teoria in un linguaggio i suoi modelli. Se invece disponiamo già di una struttura e vogliamo studiarne le proprietà, possiamo associare alla struttura un linguaggio del primo ordine che permetta di esprimerne le caratteristiche (ad esempio di parlare degli elementi della struttura), e tentare di codificare nel linguaggio le proprietà della struttura mediante una teoria. Certamente tale teoria avrà la struttura di partenza come modello, ma in generale essa avrà anche altri modelli, e può essere interessante studiare le proprietà che li accomunano. Appare allora immediatamente chiara una differenza rilevante con l’approccio che sottende il Capitolo 3: mentre quando stabiliamo relazioni tra le nozioni di derivabilità e di soddisfacibilità è ragionevole restringersi a linguaggi di cardinalità numerabile (si veda in merito l’Osservazione 60), nel momento in cui ci interessiamo alle strutture, la presenza (ad esempio) di una quantità più che numerabile di simboli di costante può essere utile per studiare le strutture algebriche più che numerabili come particolari strutture per un certo linguaggio, ed è dunque molto naturale. In tutto il capitolo (salvo esplicita menzione del contrario) faremo pertanto riferimento a linguaggi di cardinalità qualsiasi.