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Sur les scindements de Heegaard du tore $T\sp 3$

1990; Lehigh University; Volume: 32; Issue: 1 Linguagem: Francês

10.4310/jdg/1214445045

1945-743X

Michel Boileau, Jean-Pierre Otal,

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology

We prove that there is, up to isotopy, a unique Heegaard splitting of a given genus g > 3 in the 3-torus Γ 3 .Using Meek's results, this classification theorem gives that two minimal surfaces of a given genus g > 3 in a flat torus are isotopic.This implies, in particular, the topological uniqueness of triply periodic minimal surfaces in R .Un scindement de Heegaard de genre g d'une variete fermee orientable de dimension 3, M, est une surface (orientable) de genre g, plongee dans M et separant M en deux bretzels, c'est-a-dire en deux varietes obtenues chacune par recollement d'anses d'indice 1 sur le bord d'une boule.La classification a isotopie pres de tous les scindements de Heegaard d'une variete de dimension trois donnee n'a ete obtenue pour Γinstant que dans quelques cas tres particuliers: la sphere S 3 ([16]), et les espaces lenticulaires ([2]).Le resultat de B. Lawson ([9]) qui montre que toute surface minimale plongee dans une variete de dimension 3 a courbure de Ricci strictement positive est un scindement de Heegaard permet d'en deduire Γunicite a isotopie pres des surfaces minimales fermees d'un genre donnee dans S 3 ([9]) et aussi dans les espaces lenticulaires, ces varietes etant munies par exemple de leur metrique spherique.Dans cet article, on classifie a isotopie pres les scindements de Heegaard du tore Γ 3 .Le resultat principal est le suivant: Theoreme.A isotopie pres, il existe, pour tout g > 3, un seul scindement de Heegaard de genre g du tore T .Pour g = 3 , ce resultat avait ete obtenue par C. Frohman et J. Hass en utilisant la theorie des surfaces minimales ([6]).Leur resultat montrait que tout scindement de genre 3 est isotope au scindement standard dont nous rappelons la construction: si on considere le tore T comme le quotient d'un cube par identification des faces opposees, le bord d'un voisinage regulier de Γimage des aretes du cube est un scindement de Heegaard de genre 3, dit standard (cf.Figure 1).