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Inversión circular de las secciones cónicas

2021; Unión Matemática Argentina; Volume: 24; Issue: 1 Linguagem: Espanhol

10.33044/revem.10426

1852-2890

Sergio Daniel Castillo,

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry

Algunas veces resulta util, en geometria, construir una figura auxiliar para resolver un problema. Asi, por ejemplo, para demostrar que la suma de los angulos de un triangulo es igual a dos rectos, se suele trazar la paralela a uno de los lados que pasa por un vertice; otros problemas requieren, tambien, construcciones similares. Por caso, el siguiente interrogante sobre conicas, podria requerir una solucion de ese tipo. En efecto, dada una hiperbola equilatera cualquiera, ?Como hallar una circunferencia “tangente” a ambas ramas de la misma y que, ademas, pase por su centro?. Veremos que, usando una inversion apropiada, se puede obtener una solucion en no mas de cuatro pasos. Para esto, no obstante, sera necesario conocer algunas propiedades de la inversion de las conicas lo que nos sumergira en el estudio de ciertas curvas clasicas (la Cisoide de Diocles, la estrofoide y la Lemniscata de Bernoulli), campo bellisimo de las matematicas y de gran valor historico. Veremos tambien que la excursion por estos temas nos aportara elementos para solucionar problemas de indole muy distinta al planteado inicialmente (esto es, el de construir por puntos una estrofoide y una Cisoide, partiendo de una parabola y usando solamente una escuadra; o bien, el de probar que una estrofoide y una circunferencia se intersecan en a lo sumo cuatro puntos). Con todo, el formato de esta presentacion posee una peculiaridad. Y es que aqui se usan fuertemente los recursos informaticos. Pero no solo como un buen medio expositivo (cosa que, dicho sea de paso, nadie discutiria en nuestros dias) sino, mas bien, como una herramienta para inferir resultados, que despues, naturalmente, habran de ser afirmados o refutados por una demostracion. En particular, usaremos algunas funciones del Cabri para hallar lugares geometricos y para observar algunas propiedades metricas y angulares de la Lemniscata. Las construcciones y ejercicios que aqui se proponen varian en su grado de dificultad y requieren, en mayor o menor medida, de algunas de estas funciones para su mejor resolucion. Se ha hecho todo lo posible para que las consignas sean abiertas, es decir, para que fomenten la experimentacion y el espiritu de indagacion del estudiante y no se agoten en una respuesta unica y definitiva. Cuando se proponga hallar una construccion distinta a una dada, es para instar a la busqueda de distintos caminos en la resolucion de un problema, cosa en la que hacemos especial hincapie. La propuesta esta pensada como parte de un curso sobre conicas y exige algunos conocimientos basicos sobre inversion y construcciones.