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Some examples for the Poincaré and Painlevé problems

2002; Société Mathématique de France; Volume: 35; Issue: 2 Linguagem: Francês

10.1016/s0012-9593(02)01089-3

1873-2151

Alcides Lins-Neto,

Nonlinear Waves and Solitons

In 1891, Poincaré started a series of three papers in which he tried to answer the following question (cf. [21–23]): "Is it possible to decide if an algebraic differential equation in two variables is algebraically integrable?" (in the sense that it has a rational first integral). More or less at the same time P. Painlevé asked the following question: "Is it possible to recognize the genus of the general solution of an algebraic differential equation in two variables which has a rational first integral?". In this paper we give examples of one-parameter families which show that both problems have a negative answer. With some of the families we can also answer a question posed by M. Brunella in [5]. En 1891, Poincaré commençait une série de trois articles dans lesquels il tentait de répondre à la question suivante (cf. [21–23]) : « Est-il possible de décider si une équation différentielle algébrique en deux variables est algébriquement intégrable ? » (au sens où il admet une intégrale première rationnelle). À peu près à la même époque, P. Painlevé posait la question suivante : « Est-il possible de déterminer le genre de la solution générale d'une équation différentielle algébrique en deux variables qui admet une intégrale première rationnelle ? ». Dans cet article, nous donnons des exemples de familles à un paramètre qui montrent que les deux problèmes ont une réponse négative. À l'aide de certaines de ces familles, nous pouvons également répondre à une question de M. Brunella dans [5].