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Elementos de contorno adaptables

1983; Elsevier BV; Volume: 34; Issue: 149 Linguagem: Espanhol

2605-1729

Enrique Alarcón Álvarez,

Accounting and Financial Management

Como es bien sabido, en el metodo de los elementos finitos se suele hablar de dos tipos de convergencia. La primera, o convergencia h, se refiere a la mejora del resultado que se obtiene refinando la malla. Debido a la correspondencia elemento-variables nodales-funciones de interpolacion, ello implica un ajuste progresivo de los resultados en aquellas zonas donde se produce el refinamiento. Se trata del metodo mas usado cuando, de forma pragmatica, se desea tener una idea de la convergencia de los resultados. Su principal inconveniente radica en el hecho que cada refinamiento exige el calculo de matrices de rigidez diferentes de las anteriores, de modo que la informacion debe ser rehecha en cada caso y, por tanto, los costes son elevados. El segundo metodo analiza la convergencia p, o refinamiento de la aproximacion mediante el incremento del grado del polinomio definido sobre cada elemento. Se trata de abandonar la idea de asociar a cada nodo el valor fisico de la variable correspondiente en la aproximacion tipica: u ~ a1O1 + a2O2 + a3O3+ … + anOn; donde las funciones O son unidad en el nodo correspondiente y cero en el resto. Por el contrario, se vuelve a la idea original de Ritz, semejante al de un desarrollo en la serie de Fourier, donde las funciones O estan definidas globalmente y los coeficientes de ponderacion no tienen por que presentar un significado fisico concreto. Evidentemente la vuelta no es total; se siguen manteniendo elementos y dentro de cada uno de ellos se establece una jerarquia de funciones Oi. Con esta situacion intermedia entre la globalidad absoluta de Ritz y la correspondencia absoluta de la discretizacion con las variables se consigue, por un lado, mantener una versatilidad suficiente para el ajuste por trozos y, por otro, refinar la aproximacion de forma inteligente ya que, al igual que sucede en una serie de Fourier, cada termino que se anade produce un efecto menor, lo que posibilita el truncamiento cuando se alcanza un determinado nivel de precision. Ademas, puesto que cada O tiene un soporte perfectamente definido desde un principio, cada etapa del refinamiento aprovecha todos los calculos anteriores y solo se necesita evaluar los nuevos terminos de la matriz de rigidez. La primera idea fue propuesta por Zienckiewicz et al.(1970), y posteriormente han desarrollado el metodo Szabo et al.(1978), Babuska (1975,1978), Peano (1978)etc. El proceso operativo incluye asi: a)Establecimiento de una malla amplia sobre el dominio a analizar; b)Definicion de una jerarquia de funciones de interpolacion dentro de cada elemento; c)Establecimiento de un indicador de las zonas que precisen la adicion de nuevas funciones jerarquizadas; d)Establecimiento de un estimador a posteriori que evalue el error cometido y precise el momento en que pueda ser detenido el proceso. Un metodo que sigue los pasos anteriores se denomina autoadaptable y, como se puede comprender, resulta interesantisimo para problemas no triviales. En este articulo, se contempla la posibilidad de extender las ideas anteriores al metodo de los elementos de contorno.