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Los teoremas de incompletitud de Gödel, teoría de conjuntos y el programa de David Hilbert

2014; Cambridge University Press; Volume: 34; Issue: 1 Linguagem: Inglês

1750-0117

Ricardo J.N. Bettencourt da Silva,

Logic, Reasoning, and Knowledge

Kurt Godel demostro en 1931, que para todo sistema formal Z recursivo lo suficientemente potente como para derivar los axiomas de Peanoy que ademas se suponga como consistente, se tiene que en el sistema hay proposiciones indecidibles, es decir, el sistema no es completo. Por otra parte, Godel probo que si el sistema Z es consistente entonces no se puedederivar en Z una proposicion que afirme la consistencia de Z. Estos resultadosson los que se conocen como Primer Teorema de Incompletitud Godel y Segundo Teorema de Incompletitud de Godel. Dichos resultados tienen un gran impacto sobre la investigacion de los fundamentos de la matematica quevenia gestandose en los primeros treinta anos del siglo pasado, y tiene ademasconsecuencias sobre la filosofia de la matematica de dicha epoca. Este articulo se encuentra estructurado en tres partes: En una primera parte nos ocupamos de la formulacion de los Teoremas de incompletitud y las ideas principalesde su demostracion en cada caso. Seguidamente mostraremos una aplicacion del Segundo Teorema de Incompletitud en la teoria de conjuntos referente a los cardinales inaccesibles. Por ultimo, desarrollaremos las consecuencias filosoficas que los Teoremas de incompletitud de Godel tienen sobre el proyecto meta-matematico de David Hilbert. Abstract: Kurt Godel proved in 1931 that for any formal recursive system Z powerful enough to derive the Peano axioms and also supposed to be consistent, we have that in the System there are undecidable propositions, i.e., the system is not complete. Moreover, Godel proved that if the Z system is consistent then it can not derive in Z a proposition asserting the consistency of Z. These results are known as Godel's First Incompleteness Theorem and Godel's Second Incompleteness Theorem. Such results have a great impact on the investigation of the foundations of mathematics that had been developing in the first thirty years of the last century, and it, furthermore, has implications for philosophy of mathematics of that time. This article is structured in three parts: In the first part we deal with the formulation of the incompleteness theorems and the main ideas of its proof in each case. Then, we will show an application of the Second Incompleteness Theorem in set theory concerning inaccessible cardinal. Finally, we will develop the philosophical consequences that Godel's incompleteness theorems have on the meta-mathematical project that David Hilbert proposed.