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Caractérisation des variétés à courbures sectionnelles holomorphes généralisées constantes

1974; Lehigh University; Volume: 9; Issue: 1 Linguagem: Francês

10.4310/jdg/1214432090

1945-743X

A. M. Naveira,

Mathematics and Applications

Parmi les resultats qui relient les proprietes de la courbure d'une variete riemannienne avec la topologie de cette variete on peut signaler ceux de Chern [2] et Thorpe [7], [9] relatifs a Γannulation de certaines classes de Pontrjagin des varietes de Riemann a courbures sectionnelles d'un ordre fixe constant.Les courbures sectionnelles holomorphes sont des invariants plus faibles que les courbures sectionnelles reelles.Si la courbure sectionnelle holomorphe d'ordre 2 est constante, on connaίt une formule simple pour sa forme courbure [6] mais les courbures sectionnelles holomorphes d'ordre p ne semblent pas avoir ete etudiees.Dans la seconde section de cet article on resoud une conjecture indiquee par Gray [5] que nous nous etions posee avant de connaίtre le dit article.On donne une caracterisation de la forme courbure sectionnelle holomorphe d'ordre p constant en fonction de la forme courbure generalisee complexe et finalement, on deduit des proprietes sur les classes de Chern des varietes a courbure sectionnelle holomorphe d'ordre 2 constant.Dans la premiere partie, en suivant une methode differente de celle employee par Thorpe [7] on fait une exposition de certaines proprietes des courbures sectionnelles reelles, que nous utilisons dans § 2.L'auteur veut exprimer sa reconnaissance aux Professeurs M. Berger, R. Deheuvels et A. Lichnerowicz pour leurs conseils et leur encouragement dans la realisation de cet article.1. Tous les objets geometriques seront de classe C°°.M indiquera une variete riemannienne n-dimensionnelle, paracompacte et connexe; F(M) le fibre O(n)-principal des reperes orthonormaux sur M. Pour tout entier pair p < n, G P (M) indique la grassmannienne de /?-vecteurs tangents.Sur F(M) existent les 1-formes θ\ 1 < ί,j < < n definies par θ, f n ).Pour chaque p-vecteur P e G P (M), soit K(P) sa courbure de Lipschitz-Killing.K est une fonction a valeurs reelles sur G P (M) que Γon definit comme