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Porqué y cómo exponenciamos matrices hamiltonianas

2009; Mexican Society of Physics; Volume: 49; Issue: 5 Linguagem: Espanhol

2683-2224

Kurt Bernardo Wolf,

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems

Las trayectorias de puntos masa en la mecanica clasica de osciladores, y de rayos de luz en la optica geometrica paraxial, se obtienen exponenciando matrices. Las matrices hamiltonianas representan y clasifican mediante equivalencia las dinamicas posibles de los sistemas lineales. En mecanica unidimensional y en guias de onda planas son posibles los sistemas armonico, repulsivo, o el libre; esto es bien conocido y solo requiere de matrices de 2 × 2 con 3 parametros independientes. Aqui abordamos el problema de sistemas mecanicos en dos dimensiones, que coincide con el de las guias de onda opticas en tres dimensiones, donde se requiere de matrices de 4 × 4 con 10 parametros. Conocida la estructura de los eigenvalores, reducimos la exponencial de una matriz hamiltoniana a una suma de sus cuatro primeras potencias, con coeficientes que calculamos analiticamente, resolvemos la degeneracion presente en el plano de eigenvalores, y comentamos sobre los sistemas lineales ondulatorios a los que se aplican estos resultados. Ponemos enfasis en las referencias que han tratado los topicos contenidos en este trabajo, las cuales se detallan en parrafos separados.