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The eigenvalue problem for hollow circular cylinders

1973; Elsevier BV; Volume: 11; Issue: 7 Linguagem: Inglês

10.1016/0020-7225(73)90007-4

1879-2197

Grant P. Steven,

Elasticity and Material Modeling

In three-dimensional elasticity the solution of the biharmonic equation for a hollow circular cylinder can be presented in terms of Bessel functions. If there are no surface tractions on either of the radial faces and no thermal effects, an eigenvalue problem arises. A method of establishing these eigenvalues and tables of them for various types of hollow cylinders are presented. Two special cases are investigated, namely, as the ratio of radii tends to unity, that is, a 'thin shell', and as the ratio tends to infinity, which can either be regarded as the inner radius tending to zero for a fixed outer radius or as the outer radius tending to infinity for a fixed inner. The eigenvalues are subsequently used for the calculation of the effect of end loading on a semi-infinite length cylinder. From this a quantitative comparison can be made with thin shell theory in the transition region between thin and thick shells of this type. En élasticité tri-dimensionnelle, la solution de l'équation biharmonique pour un cylindre circulaire creux peut être représentée en termes de fonctions de Bessel. S'il n'y a pas de tensionsuperficielles ni sur l'une ni sur l'autre des faces radiales, et pas d'effets thermiques, on aboutit à un problème de valeur propres. Une méthode pour établir ces valeurs propres et leur tabulation est présentée pour différents types de cylindres creux. Deux cas spéciaux sont étudiés plus particulièrement, lorsque le rapport des rayons tend vers un, c'est à dire une enveloppe mince, et lorsque ce rapport tend vers l'infini; ceci peut aussi bien être considéré comme le rayon intérieur tendant vers zéro le rayon extérieur restant fixe, que comme le rayon extérieur tendant vers l'infini, le rayon intérieur restant fixe. Les valeurs propres sont ensuite utilisées pour calculer l'effet d'une charge d'extrémité sur un cylindre de longueur semi-infinie. A partir de ceci, une comparaison quantitative peut être faite avec la théorie des enveloppes minces dans la région de transition entre les enveloppes minces et épaisses de ce type. In dreidimensionaler Elastizität kann die Lösung der biharmonischen Gleichung für einen hohlen kreisförmigen Zylinder in Ausdrücken von Bessel-Funktionen dargestellt werden. Wenn auf keiner der radialen Flächen Oberflächenzüge und Thermalwirkungen bestehen, entsteht ein Eigenwertproblem. Es werden ein Verfahren zur Feststellung dieser Eigenwerte und deren Tabellen für verschiedene Typen von Hohlzylindern vorgelegt. Es werden zwei Spezialfälle untersucht, nämlich, wenn das Verhältnis der Radien zur Einheit neigt, das ist, eine "dünne Schale", und wenn das Verhältnis nach Unendlich neigt, was entweder so betrachtet werden kann, dass der innere Radius für einen festgesetzten äusseren Radius nach Null neigt, oder dass der äussere Radius für einen festgesetzten inneren nach Unendlich neigt. In der Folge werden die Eigenwerte für die Berechnung der Wirkung von Endbelastung auf einen Zylinder einseitig-unendlicher Länge verwendet. Von dort kann ein quantitativer Vergleich mit der Theorie dünner Schalen in der Übergangszone zwischen dünnen und dicken Schalen dieses Typs gemacht werden. Nell'elasticità tridimensionale si può presentare la soluzione dell'equazione biarmonica per un cilindro circolare cavo in termini delle funzioni di Bessel. Se non ci sono trazioni superficiali sulle facce radiali e non si hanno effetti termici, insorge un problema di eigenvalore. Si presentano un metodo per stabilire questi eingenvalori e tabelle di essi nei riguardi di vari tipi di cilindri cavi. Si studiano due casi in particolare, dioè, dato che il rapporte dei raggi tende all'unità o a un guscio sottile, e dato che il rapporro tende all'infinito, si può ritenere come il raggio interno che tenda allo zero per un raggio esterno fisso appure come il raggio esterno che tenda all'infinito per uno interno fisso. Gli eingenvalori sono successivamenti usati per calcolare l'effetto del carico d'estremità su un cilindro di lunghezza seminfinita. Da questo si può fare un paragone quantitative con la teoria di guscio sottile nella regione di transizione fra gusci sottile e spesso di questo genere. B cлyчae тpeчмepNoи yпpyгocти BoзмoNпo Bыpaжить бигapмoNичecкoe ypaBNeNиe пoлoгo кpyглoгo цилиNдpa чepeз бecceлeBы фyNкции. Пpи oтcyтcтcBии пoBepчNocтNыч тяг oт oбeич paдиaльNыч гpaNeи й пpи oтcyтcтBии тepмичecкич эффeктoB, имeeтcя зaдaчa coбcтBeNNoгo зNaчeNия. Дaeтcя мeтoд ycтaNoBлeNия этич coбcтBeNNыч зNaчeNий. coeтaBлcNы тaблицы ич для paзличNыч типoB пoлыч цилиNдpoB. ИccлeдoыNыa дBa чacтNыe cлyчaя. кoгдa oтNoщeNиe paдиycoB → 1, т. e. тoNкaя oбoлoчкa, кoгдa oтNoщeNиe → ∞, чтo BoзмoжNo cчитaть пepeчoдoм BNyтpeNNeгo paдиyca к Nyлю пpи зaдaNNoм NapyжNoм paдиyce, или пepeчoдoм NapyжNoгo paдиyca к ∞ пpи зaдaNNoм BNyтpeNNeм paдиyce. BпocлeдcтBии NpимeNяютcя coбcтBeNNыe зNaчeNия для pacчeтa BлияNия кoNцeBoй Naгpyзки Na цилиNдp пoлyбecкoNeчNoй длиNы. Na этoм ocNoBe BoзмoжNo кoличecтBeNNoe cpaBNeNиe c тeopиeй тoNкoй oбoлoчки Bo oблacти пepeчoдa мeждy тoNкими oбoлoчкaми этoгo типa.