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Sur les classes 𝑉 normales

1913; American Mathematical Society; Volume: 14; Issue: 3 Linguagem: Francês

10.1090/s0002-9947-1913-1500950-9

1088-6850

Maurice Fréchet,

Education, sociology, and vocational training

Considérons une classe (A) d'éléments de nature quelconque mais satisfaisant aux conditions suivantes :t Io C'est une classe (L).2° Elle est parfaite.3° Elle est compacte.4° Si tous les éléments limites d'une suite infinie d'éléments de la classe (suite qui a nécessairement au moins un élément limite d'après 3°) coïncident, cette suite est convergente.5° A tout élément A de (A) correspond une suite infinie dénombrable d'ensembles fermés Qi(A) possédant les propriétés suivantes: a) Qi+i ( A ) appartient à Q,: ( A ) ; b) à tout entier m correspond un entier n tel que tout Qn à qui appartient un élément B appartient à Qm ( B ) quel que soit B; c) A est intérieur à tous les Q,:( A ) ; d) les ensembles Qi(A), Q2(A), • • •, Qn (A), • • • ont un seul élément commun, à savoir A .Les théorèmes que vous établissez à partir du Théorème 8 sont démontrés pour une classe satisfaisant aux conditions précédentes énoncées, soit explicitement, soit implicitement comme pour 4° dans la démonstration du Théorème 7, ou pour 2° par suite de la légère différence dans la définition du mot "intérieur " que vous me signalez.Votre classe (D) est soumise en outre à la condition-dont je n'aurai pas besoin-que tout ensemble dérivé est fermé et de plus votre " enclosable property " est un peu plus restrictive que la condition 5° ci-dessus.Ceci étant, je vais démontrer d'abord que: toute classe (A) est une classe V normale.Il en résultera que les théorèmes que vous démontrez pour la classe ( A ) peuvent être considérés comme déjà démontrés dans ma Thèse.(Sur quelques points du Calcul Fonctionnel, Rendiconti del Circolo Materríatico di Palermo, 1906, t. 22, pp.1-74).Í Par contre les théorèmes où vous ne faites pas usage de Y ^'enclosable property" restent essentiellement nouveaux et constituent une importante généralisation.