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On periods modulo p in arithmetic dynamics

2015; Elsevier BV; Volume: 353; Issue: 4 Linguagem: Francês

10.1016/j.crma.2015.01.007

1778-3569

Mei-Chu Chang,

Mathematical Dynamics and Fractals

We prove the following analogue of Silverman's results [9] for pairs of maps. Let d≥2 be an integer, K/Q a number field, and N=NK/Q(P) the norm of an ideal P⊂OK. Let h(z)∈K[z] be non-constant and not of the form h(z)=ξz, ξd−1=1. Denote ft(z)=zd+t, gt(z)=zd+h(t), and F(ℓ) the ℓ-th iteration of F. There are constants c1, c2 depending on d and h such that the following holds. For almost all prime ideals P⊂OK, there is a finite subset T⊂F¯P, |T|≤c1 such that if t∈F¯P∖T at least one of the sets(1){ft(ℓ)(0):ℓ=1,2,⋯,[c2log⁡N]},{gt(ℓ)(0):ℓ=1,2,⋯,[c2log⁡N]} consists of distinct elements. Nous prouvons l'analogue suivant des résultats de Silverman [9] pour les paires d'applications. Soit d≥2 un entier, K/Q un corps de nombres, et N=NK/Q(P) la norme d'un idéal P⊂OK. Soit h(z)∈K[z] un polynôme non constant qui n'est pas de la forme h(z)=ξz, ξd−1=1. Posons ft(z)=zd+t, gt(z)=zd+h(t) et F(ℓ) les itérés de F. Il existe des constantes c1, c2, dépendant de d et h, possédant la propriété suivante : pour presque tout idéal premier P⊂OK, il y a un sous-ensemble T⊂F¯P, |T|≤c1 tel que si t∈F¯P∖T, au moins un des ensembles{ft(ℓ)(0):ℓ=1,2,⋯,[c2log⁡N]},{gt(ℓ)(0):ℓ=1,2,⋯,[c2log⁡N]} se compose d'éléments distincts.