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A control volume approach to a shock front propagating in laminated hyperelastic media

1972; Elsevier BV; Volume: 10; Issue: 6 Linguagem: Francês

10.1016/0020-7225(72)90095-x

1879-2197

A.S.D. Wang,

Automotive and Human Injury Biomechanics

Finite amplitude shock wave front propagating in laminated semi-infinite bodies made of hyperelastic materials is analyzed using the concept of a control volume. The shock front is generated by an impulsive load which is applied to the one end of the semi-infinite body, and propagates steadily in the direction of the lamination. A control volume is therein defined to contain and move with the shock front and a set of steady-state conservation equations is written as in the case of a flow problem. These equations are solved with the aid of the material constitutive relations and the appropriate geometrical and boundary conditions. An illustrative problem of a semi-infinite plate is solved in detail, using rubber-like materials of the Neo-Hookean type. The numerical results for this problem are depicted in graphs, which display a marked non-linear shock Hugoniot relation. L'auteur analyse la propagation d'un front d'ondes de choc d'amplitude finie dans des corps semiinfinis lamellés constitués de matériaux hyper-élastiques en utilisant le concept d'un volume de contrôle. Le front de choc est engendré par une charge impulsive appliquée à une extrémité du corps semi-infini et se propage régulièrement dans le sens de la lamination. Un volume de contrôle y est donc défini qui contient le front de choc et se déplace avec lui; comme dans le cas d'un problème d'écoulement, on trouve une série d'équations de conservation régulière. Ces équations sont résolues à l'aide des relations constitutives de la matière et des conditions géométriques et de limites appropriées. L'auteur résout ensuite en détail le problème d'une plaque semi-infinie en utilisant des matériaux similaires au caoutchouc du type Néo-Hookean. Les résultats numériques de ce problème sont exprimés sous forme de graphiques qui montrent une relation marquée du choc non linéaire de Hugoniot. Eine Stosswellenfront endlicher Amplitude, die sich in laminierten einseitig-unendlichen Körpern aus hyperelastischen Stoffen fortpflanzt, wird unter Benützung des Begriffes eines Steuervolumens analysiert. Die Stossfront wird durch eine Impulsbelastung erzeugt, die auf das eine Ende des einseitigunendlichen Körpers angewandt wird, und sich stetig in der Richtung der Laminierung fortpflanzt. Ein Steuervolumen ist dabei definiert eine Stossfront zu umfassen und sich mit ihr zu bewegen, und ein Satz von Erhaltungsgleichungen des stetigen Zustandes wird wie im Falle eines Strömungsproblemes geschrieben. Die Gleichungen werden mit Hilfe der Materialkonstitutionsbeziehungen und der passenden geometrischen und Grenzbedingungen gelöst. Ein erläuterndes Problem einer einseitig-unendlichen Platte wird im Detail gelöst, wobei gummiartige Stoffe Neo-Hooke'scher Art verwendet werden. Die numerischen Resultate für dieses Problem werden in Diagrammen gezeigt, die eine auffallende Hugoniotbeziehung nicht-linearen Stosses zeigen. Impiegando il concetto di un volume di controllo si analizza una fronte d'onda d'urto d'impiezza finita incorpi semi infiniti laminati ricavati di materiali iperelastici. La fronte d'urto è generata da un carico impulsivo che viene applicato ad un'estremità del corpo semi infinito e si propaga uniformemente nel senso della laminazione. Si definisce allora un volume di controllo per contenere e spostarsi con la fronte d'urto e si scrive una serie di equazioni di conservazione di stato uniforme come nel caso di un problema di flusso. Queste equazioni vengono risolte con l'ausilio di rapporti costitutivi di materiale e le opportune condizioni limite e geometriche. Un problema illustrativo di una piastra semi infinita viene risolto nei particolari, impiegando materiali simili alla gomma del tipo neo Hookeano. I risultati numerici di questo problema sono riportati in forma di grafici, che mostrano un rapporto d'urto di Hugoniot marcato e non lineare. Na osнoвe пpeдsтaвлeния ⪡кoнтpoльнoгo oбъeм⪢ дaн aнaлиз фpoнтa yдapнoй вoлны кoнeчнoгo aмплитyдa, pasпposтpaняющeйsя в sлoйsтыe пoлyкoнeчныe тeлa из гипepэлasтичныч мaтepиaлoв. Удpный фpoнт гeнepиpyeтsя импyльsнoй нaгpyзкoй нa oднoм кoнцe пoлyкoнeчнoгo тeлa, pasпposтpaняeтsя sтaциoнapнo в нaпpaвлeниe sлoйsтoгo мaтepиaл-qa. здesь oпpeдeлeн ⪡кoнтpoльный oбьeм⪢, кoтopый soдepжит и движeт вмesтe s yдapным фpoмтoм, a тaкжe зaпиsaнa sиsтeмa ypaвнeий soчpaнeния sтaциoaapнoгo sosтoяния кaк в sлyчae пpoблeмы нoтoкa. Peшeнeниe этич ypaвнeний пoлyчaeтsя пpи пoмoщи мaтepиaльныч кoнsтитyтивныч sooтнoшeний иsooтвeтsтвyющич гeoмeтpичesкич и гpaничныч ysлoвий B кaчesтвe пpимepa peщaeтsя зaдaчa пoлyкoнeчнoй плasтины пoдeтaльнo, пpимeняя кayчyкooбpaзныe мaтepиaлы типa NeoГyкa. Для этoй пpoблeмы пoкaзaны чиsлeнныe peзyльтaты в гpaфичesким видe, видпo зaмeтнoe нeлинeйнoe yдapнoe sooтнoшeинe Гюгoниoa.