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Construction of Markovian coalescents

1998; Institute of Mathematical Statistics; Volume: 34; Issue: 3 Linguagem: Francês

10.1016/s0246-0203(98)80015-0

1778-7017

Steven N. Evans, Jim Pitman,

Markov Chains and Monte Carlo Methods

Partition-valued and measure-valued coalescent Markov processes are constructed whose state describes the decomposition of a finite total mass m into a finite or countably infinite number of masses with sum m, and whose evolution is determined by the following intuitive prescription: each pair of masses of magnitudes x and y runs the risk of a binary collision to form a single mass of magnitude x + y at rate к(x,y), for some non-negative, symmetric collision rate kernel к(x,y). Such processes with finitely many masses have been used to model polymerization, coagulation, condensation, and the evolution of galactic clusters by gravitational attraction. With a suitable choice of state space, and under appropriate restrictions on к and the initial distribution of mass, it is shown that such processes can be constructed as Feller or Fellerlike processes. A number of further results are obtained for the additive coalescent with collision kernel к(x,y) = x + y. This process, which arises from the evolution of tree components in a random graph process, has asymptotic properties related to the stable subordinator of index 1/2. Cet article propose une construction des processus markoviens de coalescence dont l'espace d'état — un espace de mesures ou une partition ensembliste — décrit la décomposition d'une masse totale finie m en un ensemble fini ou dénombrable de masses dont la somme reste constante et égale à m, et dont l'évolution est déterminée par la règle suivante: chaque paire de masses de magnitudes x et y court le risque d'une collision binaire pour former une masse unique de magnitude x + y avec un taux к(x, y) où к est un noyau positif et symétrique décrivant le taux de collisions. De tels processus impliquant un nombre fini de masses ont servi de modèle à des phénomènes de polymérisation, de coagulation, de condensation ou encore pour décrire l'évolution d'amas galactiques sous l'influence du champ gravitationnel. Avec un espace d'état convenablement choisi, et sous réserve des restrictions adéquates sur к et la distribution initiale de masse, on démontre que ces processus peuvent être construits comme des processus de Feller (ou similaires à ces processus). On obtient plusieurs autres résultats pour le processus de coalescence additive, dont le noyau est к(x,y) = x + y. Ce processus, qui émerge de l'évolution des arbres au sein d'un processus de graphe aléatoire, a des propriétés asymptotiques liées au subordinateur stable d'indice 1/2.