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Large patterns of elliptic systems in infinite cylinders

1998; Elsevier BV; Volume: 77; Issue: 9 Linguagem: Francês

10.1016/s0021-7824(01)80002-7

1776-3371

Bernold Fiedler, Arnd Scheel, Mark Vishik,

Nonlinear Partial Differential Equations

We consider systems of elliptic equations ∂t2u + Δxu + γ∂tu + f(u) = 0, u(t, x) ∈ RN in unbounded cylinders (t, x) ∈ R × Ω with bounded cross-section Ω ⊂ Rn and Dirichlet boundary conditions. We establish existence of bounded solutions u(t, x) with non-trivial dependence on t ∈ R, ∂tu(t, x) n= 0. Our main assumptions are dissipativity of the nonlinearity f and the existence of at least two t-independent solutions w1(x), w2(x) which solve Δxwj + f(wj) = 0, j = 1, 2. The proof exploits the dynamical systems structure of the equations: solutions can be translated along the axis of the cylinder. We first prove existence and compactness of attractors for the dynamical system induced by this translation. We then compute Conley indices for cross-sectional Galerkin approximations to conclude that the attractor does not consist of only the two solutions wj(x), j = 1,2. We also prove existence of solutions converging for t → +∞ or t → −∞. If the system possesses a gradient-like structure, in addition, solutions will converge on both sides of the cylinder. Nous considérons des systèmes d'équations elliptiques ∂t2u + Δxu + γ∂tu + f(u) = 0, u(t, x) ∈ RN dans un cylindre infini (t, x) ∈ R × Ω avec Ω ⊂ Rn borné et des conditions au bord Dirichlet. Nous établissons l'existence de solutions bornées, dépendant de t ∈ R d'une façon non-triviale, ∂tu(t,x) n= 0. Nous supposons entre autre la dissipativité de la fonction f et l'existence de deux solutions w1(x), w2(x) de l'équation Δxwj + f(wj) = 0, j = 1,2. Dans la démonstration, nous utilisons la structure d'un système dynamique, engendré par la translation de solutions le long de l'axe du cylindre. Nous démontrons tout d'abord l'existence et la compacité de l'attracteur de ce système dynamique. Nous calculons ensuite des indexes de Conley pour l'approximation de Galerkin afin de déduire que l'attracteur contient des solutions autre que wj(x), j = 1,2. Nous démontrons aussi que les solutions u(t, x) convergent pour t → + ∞ ou t → −∞. Si, de plus, le système possède une fonction de Lyapunov, les solutions convergeront des deux extrémités du cylindre.