Singular surfaces in linear thermoelasticity
1965; Elsevier BV; Volume: 3; Issue: 6 Linguagem: Inglês
10.1016/0020-7225(65)90009-1
ISSN1879-2197
Autores Tópico(s)Elasticity and Wave Propagation
ResumoIn this paper we give a detailed account, within the framework of the linear theory of thermoelasticity, of the propagation of surfaces of discontinuity in a homogeneous, isotropic elastic solid which is able to conduct heat. The methods used in the investigation are, in large measure, due to T. Y. Thomas. The early sections of the paper contain a derivation of the principal results of Thomas's theory which enables us to determine, from a consideration of the appropriate Cauchy initial-value problem, the characteristic surfaces of the linear thermoelastic equations. The wavefronts associated with these characteristics are found to propagate with one of the constant speeds υt={Et(1−vt)ϱ0(1+Vt)(1−2vt)}12, υs={Et2ϱ0(1+Vt)} 12, ϱ0, ET, vT being respectively the density, the isothermal Young's modulus and the isothermal Poisson's ratio of the material in its reference state. A discontinuity surface of order r in the displacement and temperature fields is referred to as a weak thermoelastic wave if r⩾2 and a strong thermoelastic wave if r=0 or 1. Concerning the properties of these waves our main conclusions are as follows. Weak thermoelastic waves and strong waves of order 1 are characteristic and may be described as dilatational or rotational according as their speed of propagation is vT or vS. Dilatational strong waves of order 1 are shock waves and rotational waves of this type are propagating vortex sheets. For all thermoelastic waves of order ⩾ 1 the strength (defined in a natural way) is completely determined by its distribution on an initial configuration of the wavefront. Irrespective of the shape of this initial configuration, the strength of a dilatational wave decays rapidly as the wave propagates on account of thermoelastic dissipation. For rotational waves, however, the variation of strength during propagation depends solely upon the geometrical form of the initial wavefront. A strong thermoelastic wave of order 0 is an absolute singular surface in the temperature field, discontinuities of displacement being excluded from consideration. A wave of this type may be characteristic, in which case its speed of propagation is vS; or it may be non-characteristic, in which case it is a dilatational shock wave. In neither case is the strength of the wave completely determined by its distribution on an initial wavefront, a situation which leads us to argue that thermoelastie waves of order 0 cannot in practice be created. In the final section of the paper the properties of singular surfaces in classical elastokinetics are discussed in the light of the foregoing analysis of discontinuous thermoelastic waves. Restant dans le cadre de la théorie linéaire de la thermoélasticité, les auteurs présente une étude sur la propagation des surfaces de discontinuité dans un solide élastique, isotrope et homogène et bon conducteur de la chaleur. La méthode, utilisée par les auteurs, se rapporte, dans une grande mesure, aux travaux de T. Y. Thomas. La première partie de l'étude dérive des principaux résultats de la théorie de Thomas et elle a permis à les auteurs, en se basant sur des considérations sur le problème de la valeur initiale de Cauchy, de déterminer les surfaces caractéristiques des équations linéaires de la thermoélasticité. Les fronts d'onde associés à ces caractéristiques se propagent avec l'une des deux vitesses constantes υt={Et(1−vt)ϱ0(1+Vt)(1−2vt)}12, υs={Et2ϱ0(1+Vt)} 12, ϱ, ET et vT étant respectivement, la densité, le module d'Young isothermique et le coefficient de Poisson isothermique du matériau dans son état de référence. Une surface de discontinuité d'ordre r, dans les champs de déplacement et de température, est qualifiée d'onde thermoélastique faible lorsque r⩾2 et d'onde thermoélastique forte lorsque r = 0 ou 1. En ce qui concerne les propriétés de ces ondes, les conclusions principales de les auteurs sont les suivantes: Les ondes thermoélastiques faibles et fortes, d'ordre 1, sont caractéristiques et peuvent être décrites comme ondes de dilatation ou rotationnelles suivant que leur vitesse de propagation est vT ou vS. Les ondes fortes de dilatation, d'ordre 1, sont des ondes de choc et les ondes rotationnelles de ce type, se propagent sous la forme de feuillets tourbillonnaires. Pour toutes les ondes thermoélastiques d'ordre ⩾1, la force (prise dans un sens naturel) est complètement déterminée par sa distribution sur la forme initiale du front d'onde. Quelle que soit la forme initiale du front d'onde, la force d'une onde de dilatation s'amortit rapidement à mesure que l'onde se déplace par suite de la dissipation thermoélastique. Pour les ondes rotationnelles, cependant, la variation de la force, pendant la propagation, ne dépend que de la forme géométrique du front d'onde initial. Une onde thermoélastique forte, d'ordre 0, est une surface singulière dans le champ de température, les discontinuités du déplacement n'étant pas prises en considération. Une onde de ce type peut être caractéristique et, dans ce cas, sa vitesse de propagation est vS, ou bien elle n'est pas caractéristique et elle s'apparente à une onde de choc de dilatation. Dans aucune de ces cas la force de l'onde n'est complètement déterminée par sa distribution sur le front d'onde initial, ce qui conduit les auteurs à conclure qu'une onde thermoélastique d'ordre 0 ne peut pratiquement pas être engendrée. Dans la partie finale de l'étude, les auteurs présente une discussion sur les propriétés des surfaces singulières en élasticité classique, en se basant sur l'analyse précédente au sujet des ondes thermoélastiques discontinues. In diesem Aufsatz soll im Rahmen der linearen Thermoelastizitätstheorie ausführlich darüber Rechenschaft gegeben werden, wie sich in einem homogenen, isotropen, elastischen und wäremeleitfäfigen Festkörper die Diskontinuitätsoberflächen ausbreiten. Die bei der Untersuchung angewandten Methoden gehen grösstenteils auf T. Y. Thomas zurück, und die Anfangsabschnitte des Aufsatzes enthalten eine Ableitung der Hauptergebnisse der Thomas'schen Theorie. Dadurch war es möglich, von einer Betrachtung des Cauchy'schen Ausgangswertproblems ausgehend, die charakteristischen Oberflächen der linearen thermoelastischen Gleichungen zu bestimmen. Dabei zeigte es sich, dass sich die mit diesen Eigentümlichkeiten behafteten Wellenfronten mit einer der unten aufgeführten, konstanten Geschwindigkeiten fortpflanzen, nämlich υt={Et(1−vt)ϱ0(1+Vt)(1−2vt)}12, υs={Et2ϱ0(1+Vt)} 12 wo ϱ die Dichte, ET den isothermen Elastizitätsmodul und vT die isotherme Querzahl des in seinem Bezugszustand befindlichen Stoffes angeben. Eine Diskontinuitätsoberfläche in den Verschiebe- und Temperaturfeldem der Ordnung r wird als schwache thermoelastische Welle bezeichnet, wenn r⩾2 ist, wohingegen diese als starke thermoelastische Welle bezeichnet wird, wenn r = 0 oder 1 ist. Bezüglich der Eigenschaften dieser Wellen wurden die folgenden Hauptschlussfolgerungen gezogen: Schwache thermoelastische Wellen und Wellen der Ordnung 1 sind charakteristisch und können, je nachdem ob deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit vT oder vS ist, als dilatationale Wellen oder als Schubwellen bezeichnet werden. Starke dilatationale Wellen der Ordnung 1 sind Stosswellen, während Schubwellen dieses Typs sich fortpflanzende Wirbelflächen sind. Bei allen thermoelastischen Wellen der Ordnung ⩾1 wird die Stärke (bei natürlicher Definition) vollständig durch deren Verteilung auf einer Ausgangsgestalt der Wellenfront bestimmt. Wegen der thermoelastischen Verlustleistung klingt die Stärke der dilatationalen Welle während der Ausbreitung schnell ab und zwar ganz unabhängig von der Form ihrer Ausgangsgestalt. Bei den Schubwellen hängt die Stärkeänderung während der Ausbreitung jedoch lediglich von der geometrischen Form der Ausgangswellenfront ab. Wenn man Verschiebediskontinuitäten von der Betrachtung ausschliesst, bildet eine starke thermoelastische Welle der Ordnung 0 eine absolute singuläre Oberfläche im Temperaturfeld. Eine Welle dieser Art kann charakteristisch sein, in welchem Falle die Fortpflanzungsgeschwindigkeit vS beträgt. Sie kann aber auch uncharakteristisch und in diesem Falle eine dilatationale Stosswelle sein. In keinem der beiden Fälle wird die Wellenstärke vollständig von der Wellenverteilung auf einer Ausgangswellenfront bestimmt, eine Sachlage, die zu der Behauptung führt, dass es in der Praxis nicht möglich ist, thermoelastische Wellen der Ordnung 0 zu erzeugen. In dem abschliessenden Teil des Aufsatzes werden im Lichte der oben gegebenen Analyse diskontinuierlicher, thermoelastischer Wellen die Eigenschaften der singulären Oberflächen in der klassischen Elastokinetik besprochen. In questa monografia si dà un resoconto particolareggiato, nell'ambito di una teoria lineare di termoelasticità, délia propagazione di superfici di discontinuité in un solido elastico omogeneo isotropico capace di conduire calore. I metodi seguiti nell'investigazione sono in larga misura dovuti a T. Y. Thomas. Le prime sezioni délia monografia contengono una derivazione dei maggiori risultati della teoria di Thomas che ci permette di determinare, partendo da una eonsiderazione del problema appropriato di Cauchy del valore iniziale, le superfici caratteristiche délie equazioni termoelastiche lineari. I fronti d'onda associati con queste caratteristiche si propagano con una délie velocità costanti υt={Et(1−vt)ϱ0(1+Vt)(1−2vt)}12, υs={Et2ϱ0(1+Vt)} 12 dove ϱ, ET, vT rappresentano rispettivamente la densità, il modulo isotennico di Young e il rapporto isotennico di Poisson del materiale nel suo stato di riferimento. Si fa riferimento ad una superficie di discontinuita dell'ordine di r nei campi di spostamento e temperatura come ad un'onda termoelastica debole se r = 2 e un'onda termoelastica forte se r=0 od 1. Per quanto riguarda le proprietá di queste onde, siamo giunti a queste conclusioni principali. Le onde termoelastiche deboli e forti dell'ordine di l sono caratteristiche e possono venire descritte come dilatative o rotative, secondo se la velocità di propagazione sia vT o vS. Onde dilatative forti dell'ordine di 1 sono onde d'urto e onde rotative di questo génere sono fogli in vortici in propagazione. Per tutte le onde termoelastiche dell'ordine di 1 la forza (definita in via naturale) é completamente determinata della sua distribuzione su una configurazione iniziale del fronte d'onda. Indipendentemente dal profile di questa configurazione iniziale, la forza di un'onda dilatativa scende rapidamente eon la propagazione dell'onda, data la dissipazione termoelastica. Per le onde rotative, pero, la variazione nella forza durante la propagazione dipende unicamente dalla forma geometrica del fronte d'onda iniziale. Un'onda termoelastica forte dell'ordine di 0 è una superficie singolare assoluta nel campo della temperatura, e le discontinuità di spostamento non vengono prese in considerazione. Un'onda di questo tipo può essere caratteristica, nel quai caso la sua velocità di propagazione è vS, oppure puo essere non caratteristica, ed allora si tratta di un'onda d'urto dilatativa. In nessun caso la forza dell'onda è completamente determinata dalla sua distribuzione su un fronte d'onda iniziale, situazione questa che ci porta ad affermare ehe di fatto onde termoelastiche dell'ordine di 0 non sono realizzabili. Nell'ultima sezione della monografia si discutono le caratteristiche delle superfici singolari nell'elastocinetica classica alla luce dell'analisi di cui sopra delle onde termoelastiche discontinue. B paбoтe paccмaтpивaeтcя дeтaльнo, в paмкaч линeйнoй тepии тepмoyпpyгocти, pacпpocтpaнeниe пoвepчнoeтeй paзpывa в oднopoднoм, изoтpoпнoм, yпpyтoм тeлe пpoвoдящим тeплo. Meтoд иccлeдoвaния в знaчитeлвнoй cтeнeни пpинaдлeжит t. Ы. toмace. B пepвыч пyнктaч paбoты, вывeдeны глaвныe peзyльтaты тeopии toмaca пoзвoляющиe oпpeдeлить, c пoмoщью cooтвeтcтвyющeй зaдaчи Кoши, чapaктepиcтичecкиe пoвepчнocти ypaвнeний линeйнoй тepмoyпpyгocти. Фpoнты вoлн, cвязaнныe c этими чapaктepиcтикaми pacпpocтpaняютcя c oднoй из пocтoянныч cкopocтeй υt={Et(1−vt)ϱ0(1+Vt)(1−2vt)}12, υs={Et2ϱ0(1+Vt)} 12 гдe ϱ, ET, vT являютcя cooтвeтcвeннo плoтнocтью, изoтepмичecким мoдyлeм юн гa, и изoтepмичecким кoэффицнeнтoм Пyaccoнa мaтepиaлa в cиcтeмe oтcчeтa. Пoвepчнocть paзpывa нopядкa r в пoляч пepeмeщeния и тeмпepaтypы бyдeт cлaбoц mepmoynpyoŭ oлнoŭ ecли r⩾2, и cлaбoц mepmoynpyoŭ ecли r = 0 или 1. Чтo кacaeтcя cвoиcтв этич вoлн, нaшиe глaвныe вывoды являютcя cлeдyющими. Cлaбыe тepмoyпpyгиe вoлны и cильныe вoлны пopядкa 1 являютcя чapaктepиcтичecкими и, мoгyт быть oпиcaны кaк вoлны pacшиpeния и вpaщeния в зaвиcимocти oт cкopocти ич pacпpocтpaнeния vT или vS. Cильныe вoлны pacшиpeния пopядкa 1 являютcя yдapными вoлнaми, a вoлны вpaщeния этoгo типa pacпpocтaняют вичpeвыe cлoи. Для вceч тepмoyпpyгич вoлн пopядкa ⩾1 интeнcивнocть (дeфиниpoвaннaя нaтypaльным cпocбoм) oпpeдeляeтcя пoлнocтью ee pacпpeдeлeниeм нa нaчaльнoй кoнфигypaции фpoнтa вoлны. Heзaвиcимo oт фopмы зтoй нaчaльнoй кoнфитypaции интeнcивнocть вoлны вpaщeния быcтpo зaтyчaeт c pacпpocтpaнeниeм вoлны вcлeдcтвиe тepмoyпpyтoй днccипaции. Oднaкo для вoлн вpaщeния, измeнeниe интeнcивнocти вo вpeмя pacпpocтpaнeния зaвиcит иcключитeльнo oт гeoмeтpичecкoй фopмы нaчaльнoгo фpoнтa вoлны. Cильнaя тepмoyпpyгaя вoлнa пopядкa O являeтcя впoлнe cингyляpнoй пoвepчнocтью в пoлe тeмпepaтypы пpичeм, мы иcключaeм из нaшич paccyждeний paзpывы пepeмeщeний. Boлнa этoгo типa мoжeт быть чapaктepиcтичecкoй в кaждoм cлyчae, кoгдa cкopocть pacлpocтpaнeния paвнa vS; или мoжeт быть нeчapaктepиcтичecкoй вceгдa для yдapнoй вoлны pacшиpeния. Hи в oднoм иэ этич cлyчaeв, интeнcивнocть вoлны oпpeдeляeтcя pacпpeдeлeнeм нaчaльнoгo фpoнтa вoлны; из этoгo пoлoжeния вытeкaeт, чтo в пpaктикe, тepмoyпpyгaя вoлнa нyлeвoгo пopядкa нe мoжeт вoзникнyть. B зaключитeльнoй чacти paбoты диcкyтиpyютcя cвoйcтвa cингyляpныч пoвepчнocтeй в клaccичecкoй yпpyгoкинeтикe c тoчки зpeния пpeдшecтвyющeгo aнaлизa paзpывныч тepмoyпpyгич вoлн.
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