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Thin points for Brownian motion

2000; Institute of Mathematical Statistics; Volume: 36; Issue: 6 Linguagem: Francês

10.1016/s0246-0203(00)00139-4

1778-7017

Amir Dembo, Yuval Peres, Jay Rosen, Ofer Zeitouni,

Theoretical and Computational Physics

Let Θ(x,r) denote the occupation measure of the ball of radius r centered at x for Brownian motion {Wt}0≤t≤1 in Rd,d≥2. We prove that for any analytic set E in [0,1], we have inft∈Eliminfr→0Θ(Wt,r)/(r2/|logr|)=1/dimP(E), where dimP(E) is the packing dimension of E. We deduce that for any a≥1, the Hausdorff dimension of the set of “thin points” x for which liminfr→0Θ(x,r)/(r2/|logr|)=a, is almost surely 2−2/a; this is the correct scaling to obtain a nondegenerate “multifractal spectrum” for the “thin” part of Brownian occupation measure. The methods of this paper differ considerably from those of our work on Brownian thick points, due to the high degree of correlation in the present case. To prove our results, we establish general criteria for determining which deterministic sets are hit by random fractals of `limsup type' in the presence of long-range correlations. The hitting criteria then yield lower bounds on Hausdorff dimension. This refines previous work of Khoshnevisan, Xiao and the second author, that required decay of correlations. Notons Θ(x,r) la mesure d'occupation de la boule de rayon r, centrée en x, pour le mouvement brownien {Wt}0≤t≤1 dans Rd,d≥2. On montre que pour tout ensemble analytique E dans [0,1], on a inft∈Eliminfr→0Θ(Wt,r)/(r2/|logr|)=1/dimP(E), où dimP(E) est la “packing dimension” de E. On déduit que pour chaque a≥1, la dimension de Hausdorff de l'ensemble des “points maigres” x pour lesquels liminfr→0Θ(x,r)/(r2/|logr|)=a, est presque sûrement 2−2/a; c'est donc la bonne échelle pour obtenir un “spectre multifractal” non dégénéré pour la partie maigre de la mesure d'occupation du mouvement brownien. Les méthodes de cet article sont très différentes des méthodes utilisées dans notre travail sur les points épais du mouvement brownien, à cause des corrélations importantes dans le cas présent. Pour démontrer nos résultats, on établit des critères généraux pour déterminer quels ensembles déterministes sont atteints par des ensembles fractals de “type limsup”, en présence de corrélation de longue portée. Les bornes inférieures sur la dimension de Hausdorff découlent de ces critères. On obtient une amélioration des travaux précédents de Khoshnevisan, Xiao et du deuxième auteur, qui nécessitaient la décroissance des corrélations.