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Numerical solution of the first biharmonic problem by linear programming

1963; Elsevier BV; Volume: 1; Issue: 2 Linguagem: Inglês

10.1016/0020-7225(63)90035-1

1879-2197

O. L. Mangasarian,

Elasticity and Wave Propagation

A novel method for solving linear boundary-value problems is outlined through the use of the linear-programming computational algorithm. The method is equivalent to obtaining an approximate solution by a Chebyshev fit wherein the maximum error is minimized. In this work the method is used to solve the first biharmonic problem ▽4u = c in a rectangular two-dimensional region subject to u = 0 and δu/δn = 0 on the boundary of the region. The advantages of the present method over the collocation method (wherein a set of linear equations are solved uniquely for a set of parameters) seem to be the following: (1) an estimate of the error in the approximate solution is given by the objective function of the linear program: (2) for afixed number of parameters in the approximate solution, the present method gives the best value, in some sense, of these parameters. L'article traite un nouveau procédé pour la solution des problèmes de la valeur limite linéaire par application de l'algorithme programmateur linéaire. Ce procédé est équivalent à la réalisation d'une approximation à l'aide du fit de Chebyshew, l'erreur maximale étant réduite considérablement. Dans l'article en présence, on utilise le procédé pour la solution du problème de la 1ère biharmonique ▽4u = c dans un espace rectangulaire à deux dimensions qui est soumis à la vondition u = 0 et δu/δn = 0à la limite de l'espace. Il paraît que les avantages du présent procédé par rapport à la méthode de collocation (suivant laquelle on doit résoudre un groupe d'équations linéaires tout spécialement pour un groupe de paramètres) soient les suivants: (1) une possibilité d'estimation pour la grandeur de l'erreur dans l'approximation est donnée par la fonction objective du programme linéaire; (2) pour un nombre détérmine de paramètres dans l'approximation, la méthode en présence donne, à certains égards, la meilleure valeur de ces paramètres. Ein neuartiges Verfahren zur Lösung der Probleme des linearen Grenzwertes durch Anwendung des linear-programmierenden Algorithmus wird angegeben. Diese Methode ist gleichwertig dem Gewinn einer Näherungslösung durch einen Chebyschew'schen Fit, wobei der Maximalfehler weitgehend herabgesetzt wird. In der vorliegenden Arbeit wird das Verfahren angewandt zur Lösung des Problems der l. Biharmonishchen 4u = c in einem rechteckigen zweidimensionalen Raum, welcher den Bedingungen u = 0 und δu/δn = 0 an der Raumgrenze unterliegt. Die Vorteile des gegenwärtigen Verfahrens gegenüber der Kollokationsmethode (wonach eine Gruppe linearer Gleichungen speziell für eine Gruppe von Parametern gelöst wird) scheinen wie folgt zu sein: (l) Eine Schätzmöglichkeit für die Gröβe des Fehlers in der Näherungslösung wird durch die objektive Funktion des linearen Programms gegeben. (2) Für eine in der Näherungslösung feststehende Anzahl von Parametern ergibt die erörterte Methode den in gewisser Hinsicht bestern Wert dieser Parameter. Si espone un nuovo metodo per risolvere il problema del valore limite lineare mediante l'uso di un algoritmo a programmazione lineare. Questo metodo è equivalente a quelle che ottiene una soluzione approssimata mediante il fit di Cebyscev che consente di minimizzare l'errore massimo. Nel presente lavoro il metodo viene applicato per risolvere il problema della prima biarmonica 4u = c in una regione rettangolare bidimensionale sottoposta alle condizioni u = 0 e δu/δn = 0 al limite della regione. I vantaggi del presente metodo rispetto al metodo della collocazione (ove un gruppo di equazioni lineari viene risolto unicamente per un gruppo di parametri) sembrano essere i seguenti: (l) la possibilità di stima dell'errore nella soluzione approssimata è data dalla funzione obiettiva del programma lineare. (2) Per un numero fisso di parametri nella soluzione approssimata, il presente metodo dà il valore migliore, in certo senso, di questi parametri. c;кa;зыv;a;e;тy;я нo;v;ый y;пo;y;o;б p;e;щe;ния пp;o;блe;м линe;йнo;гo; пp;e;дe;льнo;гo; энa;khcy;e;ния пp;имe;нe;ниe;м линe;йнo; пp;o;гp;a;ммиp;c;ющe;гo; a;лбгo;p;итмa;. Этo;т y;пo;y;o;б p;a;v;нo;цe;нe;н a;пp;o;кy;имa;тиv;нo;мc; p;e;щe;нию пo;y;p;e;дy;тv;o;м фитa; khcy;e;быщe;v;a;, пp;иkhcy;i;м мa;кy;имa;льнa;я пo;гp;e;щнo;y;ть кp;a;йнe; y;нижa;e;тy;я. v; дa;ннo;й p;a;бo;тe; этo;т y;пo;y;o;β ппимe;няe;тy;я для p;e;щe;ния пp;o;блe;мы 1. бигa;мo;ники ▽4u = cB v; пp;ямo;c;гo;льнo;м дv;c;чмe;p;нo;м пp;o;y;тp;a;нy;тv;e; c;дo;v;лe;тv;o;p;яющe;м c;y;лo;v;иям u = 0 и δuδn = 0 c; пp;e;дe;лa; пp;o;y;тp;a;нy;тv;a;. Пp;e;имc;щe;y;тv;a; дa;ннo;гo; y;пo;y;o;бo; пo; y;p;a;v;нe;нию y;o; y;пo;y;o;бo;м кo;ллo;кa;ции (пo; кo;тo;p;o;мы гp;c;ппa; линe;йныч c;p;a;v;нe;ний p;e;щa;e;тy;я y;пe;циa;льнo; для гp;c;ппы пa;p;a;мe;тp;o;v;) пo;v;идимo;мc; y;лe;дc;ющиe;: (1) v;o;змo;жнo;y;ть o;цe;нки v;e;лиkhcy;ины пo;гp;e;щнo;y;ти v; a;пp;o;кy;имa;тиv;нo;м p;e;щe;нии дa;i;тy;я o;бщe;ктиv;нo;й фc;нкциe;й линe;йнo;й пp;o;гp;a;ммы. (2) Для p;ядa; пa;p;a;мe;тp;o;v;, nocmoянныч v; a;Пp;o;кy;имa;тиv;нo;м p;e;щe;нии, o;бy;c;ждa;e;мый y;пo;y;o;б дa;i;т v; o;y;o;бo;м o;тнo;щe;нии нa;илc;khcy;qщe;e; знa;khcy;e;ниe; пa;p;a;мe;тp;o;v;.