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Orbital varieties of the minimal orbit

1998; Société Mathématique de France; Volume: 31; Issue: 1 Linguagem: Francês

10.1016/s0012-9593(98)80017-7

1873-2151

A JOSEPH,

Algebraic Geometry and Number Theory

Let g be a complex simple Lie algebra with triangular decomposition g = n+ ⊕ h ⊕ n−. For any nilpotent orbit O an orbital variety V of O is defined to be an irreducible component of n+ ∩ O. We say that V is strongly (resp. weakly) quantizable if there exists a U(g) module L isomorphic to R[V] as a U(h) module, up to a weight shift (resp. whose associated variety is V). Here we obtain an explicit necessary and sufficient condition for strong (resp. weak) quantization of an orbital variety of the minimal non-zero nilpotent orbit. This shows that there is always at least one orbital variety admitting strong quantization, a result which hopefully should hold for any nilpotent orbit as the corresponding annihilator would be completely prime. On the other hand it also shows that even weak quantization can fail and even when this holds strong quantization can fail. In this latter case using the Demazure operators we show exactly how close the formal character of R[V] can approach that of a U(g) module and suggest that a similar behaviour holds in general. Soit g une algèbre de Lie semi-simple complexe et g = n+ ⊕ h ⊕ n− une décomposition triangulaire. Pour toute orbite nilpotente O une variété orbitale V de O est par définition un composant irréductible de n+ ∩ O. On dira que V est fortement (resp. faiblement) quantifiable s'il existe un U(g) module L isomorphe à R[V] comme U(h) module, à une translation de poids près (resp. dont la variété associée est V). Nous précisons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une variété orbitale de l'orbite nilpotente minimale non-nulle admette une quantification forte (resp. faible). De cela il résulte qu'il existe toujours une variété orbitale fortement quantifiable, un résultat qu'on espère rester vrai pour toute orbite nilpotente, car l'annulateur correspondant serait complètement premier. En revanche on obtient également qu'il existe des variétés orbitales qui ne sont même pas faiblement quantifiables et d'autres qui sont faiblement mais pas fortement quantifiables. Dans ce dernier cas on se sert des opérateurs de Demazure pour préciser dans quelle mesure le caractère formel de R[V] peut se rapprocher avec celui d'un U(g) module et nous suggérons que ce comportement puisse se généraliser.