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La dualité dans les espaces $({\cal F})$ et $({\cal L}{\cal F})$

1949; Association of the Annals of the Fourier Institute; Volume: 1; Linguagem: Francês

10.5802/aif.8

1777-5310

Jean Dieudonné, Laurent Schwartz,

Advanced Topology and Set Theory

L'objet du mémoire est l'extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d'espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces (ℱ), qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces (ℒℱ) qui s'obtiennent à partir des espaces (ℱ) par un processus de "limite inductive" : un tel espace est réunion d'une suite croissante (F n ) d'espaces (ℱ), muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des F n sa topologie propre. Pour un tel espace E, on définit son dual E ′ comme l'espace vectoriel de toutes les formes linéaires x ′ continues dans E, et on pose 〈x,x ′ 〉=x ′ (x) pour x∈E, x ′ ∈E ′ . Pour développer la théorie de la dualité, on munit E ′ d'une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble B dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de 0 contient un homothétique de B (dans un rapport >0 assez petit), la topologie forte sur E ′ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de E. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces E et E ′ : appelons polaire d'un ensemble A⊂E (resp. A ′ ⊂E ′ ) l'ensemble A 0 ⊂E ′ (resp. A ′0 ⊂E) formé des x ′ ∈E ′ (resp. x∈E) tels que |〈x,x ′ 〉|≤1 pour tout x∈A (resp. tout x ′ ∈A ′ ) ; alors les polaires des ensembles bornés dans E (resp. E ′ ) sont les voisinages de 0 dans E ′ (resp. E) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu'un espace (ℱ) ou (ℒℱ) soit réflexif (c'est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces (ℱ) ou (ℒℱ) ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.