A counterexample to a conjecture by De Giorgi in large dimensions
2008; Elsevier BV; Volume: 346; Issue: 23-24 Linguagem: Francês
10.1016/j.crma.2008.10.010
ISSN1778-3569
AutoresManuel del Pino, Michał Kowalczyk, Juncheng Wei,
Tópico(s)Geometric Analysis and Curvature Flows
ResumoWe consider the Allen–Cahn equationΔu+u(1−u2)=0in RN. A celebrated conjecture by E. De Giorgi (1978) states that if u is a bounded solution to this problem such that ∂xNu>0, then the level sets {u=λ}, λ∈R, must be hyperplanes at least if N⩽8. We construct a family of solutions which shows that this statement does not hold true for N⩾9. To cite this article: M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). Nous considérons l'équation d'Allen–Cahn :Δu+u(1−u2)=0dans RN. Une conjecture célèbre de E. De Giorgi (1978) affirme que si u est une solution bornée de ce problème telle que ∂xNu>0, alors les ensembles de niveau {u=λ}, λ∈R, sont des hyperplans au moins si N⩽8. Nous contruisons une famille de solutions qui montre que cette conjecture n'est pas vraie pour N⩾9. Pour citer cet article : M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).
Referência(s)