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Zero-cycles and cohomology on real algebraic varieties

1996; Elsevier BV; Volume: 35; Issue: 2 Linguagem: Francês

10.1016/0040-9383(95)00015-1

1879-3215

Jean-Louis Colliot-Thélène, Claus Scheiderer,

Commutative Algebra and Its Applications

Soit XR une variété algébrique sur le corps des réels, et soit X(R) l'espace topologique définie par l'ensemble de ses points réels. De nombreux travaux ont été consacrés aux liens entre la topologie de X(R) et la géométrie algébrique de X (Harnack, Weichold, Witt, Geyer, Artin/Verdier, Cox). Dans le présent article, on commence par analyser la structure du groupe de Chow CH0(X) des zéro-cycles modulo l'équivalence rationnelle. Le quotient de CH0(X) par son sous-groupe divisible maximal est exprimé simplement en fonction du nombre t de composantes connexes compactes de X(R). Pour XR propre et lisse, on calcule la torsion du groupe CH0(X) (analogue sur R du théorème de Roitman sur C). Pour X lisse avec X(R) ≠ φ, on explore ensuite les liens entre la cohomologie de X(R) et la cohomologie de Zariski des faisceaux Hq obtenus par faisceautisation de la cohomologie étale (coefficients Z2). En utilisant les résultats d'Artin/Verdier/Cox, on étudie la suite spectrale de Bloch-Ogus E2pq = HZarp(X, Hq) ⇒ Hetp + q (X, Z2). Lorsque X est lisse, cette suite spectrale dégénère en degrés suffisamment grands, et nombre des groupes y intervenant sont finis. Pour X lisse connexe de dimension d, on obtient une nouvelle preuve de l'isomorphisme CH0(X)2 = (Z2)t et l'on montre que l'application cycle CH0(X)2 → Hét2d(X, Z2) est injective. On montre que le groupe Hd − 1(X(R), Z2) est un quotient de Hd − 1 (X, Kd). Si de plus H2d − 1(Xc, Z2) = 0, alors Hd − 2(X(R), Z2) est un quotient de Hd − 2(X,Hd). Enfin on étudie une application naturelle Hd − 1(X, Hd)2 → Hd − 1(X(R), Z2) et l'on donne des conditions suffisantes pour qu'elle soit un isomorphisme. Let X be an algebraic variety over R, the field of real numbers. The interplay between the topology of the set of real points X(R) and the algebraic geometry of X has been the object of much study (Harnack, Weichold, Witt, Geyer, Artin/Verdier and Cox). In the present paper, we first analyze the Chow group CH0(X) of zero-cycles on X modulo rational equivalence. Let t be the number of compact connected components of X(R). The quotient of CH0(X) by its maximal divisible subgroup is a finite group, equal to (Z2)t if X(R) ≠ φ. For X/R smooth and proper we compute the torsion subgroup of CH0(X) (we use Roitman's theorem over C). Let X/R be smooth, connected, d-dimensional and assume X(R) ≠ φ. We use the Artin/Verdier/Cox results to analyze the Bloch-Ogus spectral sequence E2pq = HZarp(X, Hq) ⇒ Hétp + q(X, Z2). Here the Zariski sheaves Hq are the sheaves obtained by sheafifying étale cohomology (with coefficients Z2). We show that in high enough degrees this spectral sequence degenerates and that many groups HZarp(X, Hq) are finite. A new proof of the isomorphism CH0(X)2 ≅ (Z2)t is given, and the cycle map CH0(X)2 → Hét2d (X, Z2) is shown to be injective. The group Hd − 1X(R), Z2) is shown to be a quotient of Hd − 1(X, Hd). If H2d − 1(Xc, Z2) = 0, then Hd − 2(X(R), Z2) is a quotient of Hd − 2(X,Hd). There is a natural map Hd − 1(X, Kd)2 → Hd − 1(X(R), Z2). Sufficient conditions for it to be an isomorphism are given (e.g. Xc projective and simply connected).