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Sur des semi-groupes non lin\'eaires dans les espaces $L^{\infty}(\Omega)$

1979; Mathematical Society of Japan; Volume: 31; Issue: 4 Linguagem: Francês

10.2969/jmsj/03140593

1881-1167

Ki Sik Ha,

advanced mathematical theories

Sur des semi-groupes non lin\'eaires dans les espaces $L^{\infty}(\Omega)$ par Ki Sik HA (Regu le 15 ao\^ut, 1977) Introduction.On se donne un espace mesur\'e $\Omega$ de mesure born\'ee.Supposons qu'un op\'erateur $A$ soit m-accr\'etif dans $L^{\infty}(\Omega)$ et qu'une application $\beta$ de $\Omega\times R$ dans $\mathcal{P}(R)$ v\'erifie la condition que $p.p$ .$ x\in\Omega$ l'application $r\in R-\beta(x, r)$ soit maximal monotone dans $R$ .On d\'efinit l'op\'erateur $\beta A$ de $L^{\infty}(\Omega)$ par $\beta A=\{ [u, w]\in L^{\infty}(\Omega)\times L^{\infty}(\Omega):\exists v\in L^{\infty}(\Omega)$ tel que $[u, v]Notre point de d\'epart a \'et\'e un des probl\'emes que M. B\'enilan avait pose au S\'eminaire de la Th\'eorie du Potentiel dirig\'e par M. Choquet, 1974Choquet, -1975 (cf. ([6]): est-ce que $\beta A$ est m-accr\'etif dans $L^{\infty}(\Omega)$ ?On donne dans le chapitre I, une r\'eponse positive \'a ce probl\'eme sous certaines hypoth\'eses.Dans le chapitre II, on \'etudie l'\'equation d'\'evolution $(^{*})$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{du}{dt}+\beta Au\ni f\\u(0)=u_{0}\end{array}\right.$ associ\'ee par l'op\'erateur $\beta A$ m-accr\'etif de $L^{\infty}(\Omega)$ .Etant donn\'e $ u_{0}\in\overline{D(\beta A)}^{L}\infty$ , on peut donc r\'esoudre le probl\'eme d'\'evolution $(*)$ \'a l'aide de la th\'eorie des semi-groupes non lin\'eaires engendr\'es par $\beta A$ .En particulier, il $y$ a existence et unicit\'e d'une solution int\'egrale au sens de [2], de l'\'equation $(^{*})$ .On montre que pour certaines classes d'op\'erateur Am- accr\'etif de $L^{\infty}(\Omega)$ , cette solution v\'erifie l'\'equationo\'u $\frac{d}{dt}$ est la d\'erivation dans $\sigma(L^{\infty}(\Omega), L^{1}(\Omega))$ .On d\'efinit l'application $\beta^{-1}$ de $\Omega\times R$ dans $\mathcal{P}(R)$ par le fait que $ r\in$ $\beta^{-1}(x, s)$ si et seulement si $s\in\beta(x, r)$ .$EnPn$ , pour tout $\lambda>0,$ $\beta_{\lambda}$ d\'esigne l'application de $\Omega\times R$ dans $R$ par $\beta_{\lambda}=\div(I-(I+\lambda\beta)^{-1})$ , o\'u $I$ est une application de $\Omega\times R$ dans $R$ telle que pour tout $x\in\Omega,$ $I(x, r)=r$ .REMARQUE I.6.Soit $\beta$ une application de $\Omega\times R$ dans $\mathcal{P}(R)$ .On a:(1) si $\beta$ v\'erifie (H2), alors il en est de m\^eme de $\beta^{-1}$ ;(2) si $\beta$ v\'erifie (H3) si et seulement si pour tout $s\in R$ , il existe $v\in L^{\infty}(\Omega)$ tel que $p$ .$p$ .$x\in\Omega,$ $v(x)\in\beta^{-1}(x, s)$ ;(3) si $\beta$ v\'eriPe (H2) et (H3), alors pour tout $M>0$, il existe $K>0$ tel que pour toute fonction mesurable $v,$ $w$ de $\Omega$ dans $R$ avec $w(x)\in\beta(x, v(x))p$ .$p$ .$x$ $\in\Omega,$$\Vert w\Vert_{\infty}\leqq M$ entraine $\Vert v\Vert_{\infty}\leqq K$ ;(4) si $\beta$ v\'erifie (H2), alors pour tout $\lambda>0,$ $\beta_{\lambda}$ est une application de $\Omega\times R$ dans $R$ v\'erifiant (H2) et m\^eme plus precis\'ement $p$ .$p$ .$x\in\Omega,$ $r\in R-\beta_{\lambda}(x, r)$ $\in R$ est maximal monotone lipschitzienne de rapport $\frac{1}{\lambda}$ ;(5) si $\beta$ v\'erifie (H3), alors pour tout $\lambda>0,$ $\beta_{\lambda}$ v\'erifie (H3) (en effet, $(\beta_{\lambda})^{-1}=$ $\beta^{-1}+\lambda I)$ .LEMME I.7. (B\'enilan [4]).SuPposons qu'une aPplication $\beta$ de $\Omega\times R$ dans $\mathcal{P}(R)$ v\'erifie (H2) et (H3).Alors il existe une fonction $j$ de $\Omega\times R$ dans $]-\infty,$ $+\infty$ ], int\'egrande convexe normale telle que $p.p$ .$x\in\Omega,$ $\partial j(x, )=\beta(x, \cdot,\cdot)$ .DEMONSTRATION.Posons $\gamma=\beta^{-1}$ .Etant donn\'e $r\in R$ , notons $C_{r}=\{v\in L^{\infty}(\Omega) : v(x)\in\gamma(x, r)p.p. x\in\Omega\}$ ; l'ensemble $C_{r}$ est un convexe ferm\'e dans $L^{2}$ , born\'e dans $L^{\infty}$ .Etant donn\'e $\rho$ un rel\'evement de $L^{\infty}$ , posons $\tilde{\gamma}(x, r)=\rho(Proj_{c_{T}}0)(x);\tilde{\gamma}$ est une application de $\Omega\times R$ dans $R$ telle que pour tout $x\in\Omega,$ $r\in R\leftrightarrow\tilde{\gamma}(x, r)$ est croissante, pour tout $r\in R,$ $x\in\Omega\mapsto\tilde{\gamma}(x, r)$ est mesurable born\'ee $p$ .$p$ .$x\in\Omega,\tilde{\gamma}(x, r)\in\gamma(x, r)$ .Posons $h(x, r)=\int_{0}^{r}\tilde{\gamma}(x, s)ds$ ; c'est une fonction de $\Omega\times R$ dans $R$ convexe en $r$ et mesurable en $x$ ; de plus $p$ .$p$ .$ x\in\Omega$ , pour tout $r\in R$ , $\gamma(x, r)=[\lim_{s\uparrow r,s\in Q}\tilde{\gamma}(x, s), \lim_{s\downarrow r,s\in Q}\tilde{\gamma}(x, s)]=\partial h(x, r)$ .