Non-local variational mechanics—I stationarity conditions with one unknown
1969; Elsevier BV; Volume: 7; Issue: 3 Linguagem: Francês
10.1016/0020-7225(69)90040-8
ISSN1879-2197
Autores Tópico(s)Elasticity and Material Modeling
Resumo(for Non-Local Variational Mechanics, I–VII). This series of seven papers extends the classical (local) variational mechanics so as to include those cases where the Lagrangian function (action density) involves integrals of the field variables and their derivatives as arguments. We thus obtain Euler equations that are non-local. By non-local we mean that the Euler equations involve the values of the fields and their derivatives at all points in the domain of the independent variables; the Euler equations become integro-differential equations rather than just differential equations. The non-local variational mechanics involving only one field variable is studied first. A reasonably straightforward algorithm is developed for the calculation of the Euler-Lagrange operator applied to Lagrangian function, the annihilation of which gives the non-local Euler equations. The properties of this operator are studied with particular emphases on characterizing those Lagrangian functions that are identically annihilated by the Euler-Lagrange operator. A detailed study is then given of those Lagrangian functions that result in linear Euler equations. This serves to point out the degree of generality afforded by the non-local Euler equations and to provide the basis for saying when a given linear equation can be realized as the Euler equation for some Lagrangian function. With one field variable this is possible only when the homogeneous part of the given equation defines a self-adjoint linear operator. Boundary conditions are considered next. It is shown that, for linear equations, a problem with non-natural boundary conditions can always be obtained from the Lagrangian function for the corresponding problem with natural boundary conditions by adding to the latter Lagrangian function a Lagrangian function that is identically annihilated by the Euler-Lagrange operator. This result is combined with earlier ones and the essential aspects of the non-local variational mechanics so as to obtain a general theorem concerning the representation of the eigenvalues of arbitrary nonlinear operators by means of a generalized Rayleigh quotient method. The non-local variational mechanics with several field variables is then developed; vectors of Euler-Lagrange operators, properties of the Euler-Lagrange operators, Lagrangian functions that are identically annihilated by the vector of Euler-Lagrange operators, etc. It is shown that the Euler-Lagrange operators give an automatic adjoint calculator, and the application of this method allows us to show that any linear system of integro-differential equations can be imbedded in a variational statement. This imbedding, in turn, leads to a simple method of obtaining necessary conditions for the existence of solutions to the Euler equations. An important aspect of this method is that it is the same for differential equations, integral equations, and integro-differential equations. A generalization of the notion of a momentum-energy complex (a matrix that contains the essential information concerning conservation laws) is obtained for the non-localizable fields and the associated strong and weak identities are derived. These identities are used to examine the question of quadratures of the Euler equations. Transformation properties of the Euler-Lagrange operators are considered where the field variables are subjected to transformations that depend on both the field variables and the independent variables. The treatment concludes with an extension of the Lagrange multiplier theorem to non-local variational problems with non-local constraints. This extension is such that it reduces to the classical results and provides a uniform method for a much wider class of problems than previously considered. For instance, if the problem is an isoparametric one, the Lagrange multiplier functions turn out to be equivalent to constants and the problem reduces to the usual Lagrange multiplier method, but without the prior assumption that the multipliers are constants. Whether or not the multipliers are constants is automatically dictated by the method and need not be assumed at the start. (Mécanique variationnelle non locale, parties I á VII). Cette série de sept articles étend la mécanique variationnelle classique (ou locale) aux cas dans lesquels la fonction de Lagrange (densité d'action) met enjeu des intégrales des variables de champ avec leurs dérivées comme arguments. Nous obtenons ainsi des équations d'Euler non locales, c'est-á-dire portant sur les valeurs des champs et de leurs dérivées en tout point du domaine des variables indépendantes; les équations d'Euler deviennent alors des équations intégro-différentielles plutôt que des équations purement différentielles. Nous étudierons d'abord le cas de la variable unique et élaborerons un algorithme assez simple pour le calcul de l'opérateur d'Euler-Lagrange appliqué á la fonction de Lagrange dont l'annulation donne les équations d'Euler non locales. Les propriétés de cet opérateur sont étudiées en insistant particuliérement sur les fonctions de Lagrange qu'il annule identiquement. Nous étudierons également en détail les fonctions de Lagrange qui prennent la forme d'équations d'Euler linéaires. Ceci nous permettra de mettre en évidence la généralité permise par les équations d'Euler non locales et d'établir une base pour déterminer si une équation linéaire donnée peut être considérée comme l'équation d'Euler d'une fonction de Lagrange. Dans le cas d'une seule variable de champ, ceci n'est possible que si la partie homogéne de l'équation considérée définit un opérateur linéaire auto-adjoint. Nous étudierons ensuite les conditions aux limites et démontrerons que, dans le cas des équations linéaires, les problémes assortis de conditions aux limites non naturelles peuvent toujours-être résolus par utilisation de la fonction de Lagrange du probléme correspondant avec des conditions aux limites naturelles en ajoutant á cette fonction une fonction de Lagrange annulée identiquement par l'opérateur d'Euler-Lagrange. Ce résultat est ensuite combiné avec des données existantes et avec les points essentiels de la mécanique variationnelle en vue d'établir un théoréme général sur la représentation des valeurs propres des opérateurs non linéaire arbitraires par application d'une méthode généralisée du quotient de Rayleigh. Nous traiterons ensuite de la mécanique variationnelle non locale avec plusieurs variables de champ: vecteurs d'opérateurs d'Euler-Lagrange, propriétés des opérateurs d'Euler-Lagrange, fonctions de Lagrange annulées identiquement par le vecteur des opérateurs d'Euler-Lagrange, etc. Nous démontrerons que les opérateurs d'Euler-Lagrange donnent un opérateur auto-adjoint et l'application de cette méthode nous permettra de démontrer que tout systéme linéaire d'équations intégro-différentielles peut être traité comme un systéme variationnel. Cette approche méme á une méthode relativement simple de détermination des conditions d'existence de solutions des équations d'Euler. Cette méthode a la propriété importante de s'appliquer aussi bien aux équations différentielles qu'aux équations intégrales ou intégro-différentielles. Nous avons généralisé la notion du complexe quantité de mouvement-énergie (matrice contenant l'information essentielle sur les lois de conservation) pour les champs non locaux et déduit les identités fortes et faibles associées, que nous utilisons pour étudier la question de la quadrature des équations d'Euler. Nous examinerons ensuite les propriétés de transformation des opérateurs de Lagrange lorsque les variables de champ sont soumises á des transformations qui dépendent de celles-ci et des variables indépendantes. L'étude se termine par une extension du théoréme des multiplicateurs de Lagrange aux problémes variationnels non locaux á limitations non locales, qui méne á des résultats classiques et constitue une méthode applicable á un beaucoup plus grand nombre de problémes qu'auparavant. S'il s'agit d'un probléme isopérimétrique, par exemple, les fonctions des multiplicateurs de Lagrange deviennent équivalentes á des constantes et le probléme est ramené au cas général des multiplicateurs de Lagrange, mais sans nécessiter l'hypothése de la constance des multiplicateurs, celle-ci étant automatiquement déterminée par la méthode utilisée. (für Nicht lokale Variationsmechanik, Teil I durch bis Teil VII). Diese Reihe von sieben Abhandlungen erweitert die klassische (lokale) Variationsmechanik, so dass sie jene Fälle einschliesst, in denen die Lagrange-Funktion (Wirkungsdichte) die Integrale der Feldvariablen und ihrer Ableitungen als Argumente heranzieht. Wir erhalten dadurch Euler-Gleichungen die nicht-lokal sind. Unter nicht-lokal verstehen wir, dass die Euler-Gleichungen die Werte der Felder und ihrer Ableitungen auf allen Punkten im Bereich der unabhängigen Veränderlichen einbeziehen; die Euler-Gleichungen werden zu Integrodifferentialgleichungen anstatt lediglich Differentialgleichungen. Zuerst wird nicht-lokale Variationsmechanik, die nur eine Feldvariable einbezieht, untersucht. Ein ziemlich direkter Algorithmus für die Berechnung des auf die Lagrange-Funktion angewandten Euler-Lagrange Operators wird entwickelt. Die nicht-lokalen Euler-Gleichungen ergeben sich beim Verschwinden der Lagrange-Funktion. Die Untersuchung der Eigenschaften dieses Operators legt besonderen Nachdruck auf die Charakterisierung jener Lagrange-Funktionen, die durch den Euler-Lagrange Operator zum identischen Verschwinden gebracht werden. Es folgt eine eingehende Untersuchung jener Lagrange-Funktionen, die zu linearen Euler-Gleichungen werden. Diese Untersuchung hilft, auf den Grad der Allgemeinheit aufmerksam zu machen, den die nicht-lokalen Euler-Gleichungen gewähren, und dient als Grundlage für die Aussage, wann eine gegebene lineare Gleichung als die Euler-Gleichung für eine gewisse Langrange-Funktion realisiert werden kann. Mit einer Feldvariablen ist das nur dann möglich, wenn der homogene Teil der gegebenen Gleichung einen selbstadjungierten linearen Operator definiert. Als nächstes werden Randbedingungen in Betracht gezogen. Es wird gezeigt, dass, für lineare Gleichungen, ein Problem mit nicht-natürlichen Randbedingungen immer aus der Lagrange-Funktion für das entsprechende Problem mit natürlichen Randbedingungen erhalten werden kann, indem man zur letzteren Langrange-Funktion eine Langrange-Funktion hinzufügt, die durch den Euler-Langrange Operator zum identischen Verschwinden gebracht wird. Dieses Resultat wird mit früheren, und mit den wesentlichen Gesichtspunkten der nicht-lokalen Variationsmechanik zusammengestellt, um ein allgemeines Theorem zu erhlaten, das die Darstellung der Eigenwerte von willkürlichen nicht-linearen Operatoren mit Hilfe eines verallgemeinerten Rayleigh'scher Quotient Verfahrens betrifft. Dann wird die nicht-lokale Variationsmechanik mit mehreren Feldvariablen entwickelt; Vektoren von Euler-Lagrange Operatoren, Eigenschaften von Euler-Lagrange Operatoren, Lagrange-Funktionen, die durch den Vektor von Euler-Lagrange Operatoren zum identischen Verschwinden gebracht werden, u.s.w. Es wird gezeigt, dass die Euler-Lagrange Operatoren einen automatischen adjungierten Rechner liefern, und die Anwendung dieser Methode gestattet uns zu zeigen, dass jedes lineare System von Integrodifferentialgleichungen in eine Variationsaussage eingebettet werden kann. Dieses Einbetten wiederum, führt zu einer einfachen Methode, die für das Bestehen von Lösungen der Euler-Gleichungen notwendigen Bedingungen zu erhalten. Eine wichtige Eigenschaft dieser Methode ist ihr Gleichbleiben für Differentialgleichungen, Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen. Eine Verallgemeinerung des Begriffes des Impuls-Energie-Komplexes (einer Matrix, die die für Erhaltungsgesetze wesentliche Information enthält) wird für die nicht-lokalisierbaren Felder erhalten, und die damit verbundenen starken und schwachen Identitäten werden abgeleitet. Diese Identitäten werden zur Untersuchung der Frage von Quadraturen der Euler-Gleichungen verwendet. Transformationseigenschaften von Euler-Lagrange Operatoren werden dann berücksichtigt, wenn die Feldvariablen Transformationen unterzogen werden, die sowohl von den Feldvariablen als auch von den unabhängigen Variablen abhängen. Die Bearbeitung schliesst mit einer Erweiterung des Lagrange-Multiplikatorensatzes auf nicht-lokale Variationsprobleme mit nicht-lokalen Zwangsbedingungen ab. Die Erweiterung ist von solcher Art, dass sie auf die klassischen Resultate zurückführt, und ergibt ein Verfahren für eine Klasse von Problemen, die viel umfangreicher ist als die früher berücksichtigten. Wenn, zum Beispiel, das Problem ein isoparametriges ist, dann stellen sich die Lagrange-Multiplikatorenfunktionen als äquivalent zu Konstanten heraus und das Problem geht auf die gewöhnliche Lagrange-Multiplikatorenmethode zurück, aber ohne die Vorherige Annahme, dass die Multiplikatoren Konstanten sind. Ob die Multiplikatoren Konstanten sind oder nicht wird automatisch durch die Methode bestimmt und eine Annahme am Beginn erübrigt sich. (della maccanica delle variazioni non locali, Parti I a VII. Questa serie di sette articoli estende la meccanica delle variazioni classiche (locali) fino a comprendere quei casi in cui la funzione Lagrangiana (densitá d'azione) comporta integrali delle variabili di campo e i loro derivati come argomento. In tal modo si ottengono equazioni di Eurer che non sono locali. Per non locali s'intende ehe le equazioni di Euler interessano i valori dei campi e dei loro derivati in tutti i punti nel settore delle variabili indipendenti; le equazioni di Euler diventano di tipo integrodifferenziale anziehe solo equazioni differenziali. La meccanica delle variazioni non locali é studiata, ma con un'unica variabile di campo. Si sviluppa un algoritmo ragionevolmente semplice nei riguardi del calcolo dell'operatore di Euler-Lagrange applicato alla funzione Lagrangiana, il cui annullamento dá le equazioni di Euler non locali. Le caratteristiche di questo operatore sono studiate con particolare accento sulla caratterizzazione di quelle funzioni Lagrangiane che vengono annullate identicamente dall'operatore di Euler Lagrange. Si riporta quindi uno studio particolareggiato delle funzioni Lagrangiane che risultano nelle equzioni lineari di Euler. Ció serve a sottolineare il grado di generalitá dato dalle equazioni non locali di Euler e a fornire la base per dire quando é possibile realizzare una data equazione lineare come equazione di Euler per qualche funzione di Lagrange. Questo é possibile con una variabile di campo solo quando la parte omogenea della data equazione definisce un operatore lineare autoadiacente. Si passa quandi alle condizioni limite. Viene dimostrato che nel caso di equazioni lineari si puó sempre ottenere un problema con condizioni limite non naturali dalla funzione Lagrangiana rispetto al problema corrispondente con condizioni limite Lagrangiane aggiungendo una funzione Lagrangiana identicamente annullata dall'operatore di Euler Lagrange. II risultato é combinato con altri precedenti e gli aspetti essenziali della maccanica delle variazioni non locali, in modo da ottenere un teorema generale interessante la rappresentazione degli eigenvalori degli operatori non lineari arbitrari mediante un metodo di quoziente di Rayleigh generalizzato. L'A. Sviluppa quindi la meccanica delle variazioni non locali con varie variabili di campo: vettori degli operatori di Euler-Lagrange, caratteristiche degli operatori di Euler-Lagrange, funzioni Lagrangiane identicamente annullata dal vettore degli operatori di Euler-Lagrange, ecc. Viene dimostrato che gli operatori di Euler-Lagrange danno un calcolatore adiacente automatico e 1'applicazione di questo metodo ei permette di dimostrare che qualunque sistema lineare di equazioni integrodifferenziali possa essere incassato in una dichiarazione di variazioni. Tale incassamento a sua volta porta a un semplice metodo d'ottenimento delle condizioni necessarie all'esistenza di soluzioni alle equazioni di Euler. Un aspetto importante di questo metodo sta nel fatto che é uguale per la equazioni differenziali, integrali e integrodifferenziali. Si ottiene una generalizzazione della nozione di un complesso momento-energia (una matrice contenente le informazioni indispensabili sulle leggi di conservazione) per i campi non localizzabili e le identité associate forti e deboli vengono derivate. Tali identité sono impiegate per esaminare la questione delle quadrature delle equazioni di Euler. Si considerano le caratteristiche di trasformazione degli operatori di Euler Lagrange nei casi in cui le variabili di campo sono sattoposte a trasformazioni che dipendono dalle variabili di campo e da quelle indipendenti. Il trattamento conclude con un'estensione del teorema del moltiplicatore di Lagrange rispetto ai problemi di variazioni non locali con costrizioni non locali. Tale estensione é tale che si riduce ai risultati classici e dá un metodo uniforme per una categoria molto piú ampia di problemi che precedentemente considerati. Per esempio, se il problema é di génére isoparametrico, le funzioni del moltiplicatore di Lagrange si dimostrano equivalenti alle costanti e il problema di riduce al solito metodi del moltiplicatore di Lagrange, ma senza previa assunzione che i moltiplicatori siano costanti. Circa la costanza o meno dei moltiplicatori, essa é dettata automaticamente dal metodo e non va presupposta agli inizi. (пo нeмecтнoй вapиaциoннoй мeчaникe, чacти 1 дo V11 включитeльиo): этa cepия ceми cтaтeй pacшиpяeт клaccичecкyю (мecтнyю) вapнaциoннyю мeчaникy тaким oбpaзoм, чтo включaютcя тe cлyчaи, кoгдa фyнкция .Лaгpaнжa (кoнцeнтpaция дeйcтвий) вeдeт к интeгpaлaм пepeмeннвч пoля и к ич пpoизвoдным в кaчecтвe apгyмeнтoв. Taким oбpaзoм пoлyчaютcя ypaвнeния Эйлepa нe имeющиe мecтнoгo чapaктepa. Tepмин ,,нeмecтный oбoзнaчaeт, чтo ypaвнeния Эйлepa oчвaтывaют знaчeния пoлeй и ич пpoизвoдныe вo вceч тoчкaч cфepы нeзaвнcимыч пepeмeнныч; ypaвнeния Эйлepa cтaнoвятcя cкopee интeгpaльнo—диффepeнциaльными ypaвнeниями, чeм пpocтo диффepeнциaльными ypaвнeниями. Cпepвa нзyчaeтcя нeмecтнaя вapнaцнoннaя мeчaникa oчвaтывaющaя тoлькo oднy пepeмeннyю пoля. Paзpaбaтывaeтcя пpнeмлeмo пpocтoй aлгopитм для pacчeтa oпepaтopa Эйлepa-Лaгpaнжa, пpимeнeннoгo к фyнкции Лaгpaнжa, yпpaзднeниe кoтopoй дaeт нeмecтныe ypaвнeния Эйлepa. Иccлeдyютcя cвoйcтвa этoгo oпepaтopa c ocoбeнным нaжимoм нa чapaктepиcтикy тeч фyнкций Лaгpaнжa, кoтopыe идeнтичным oбpaзoм yпpaздняютcя oпepaтopoм Эилepa-Лaгpaнжa. зaтeм дaeтcя пoдpoбнoe иccлeдoвaниe тeч фyнкцнй Лaгpaнжa, кoтopыe дaют в peзyдьтaтe линeйныe ypaвнeния Эйлepa. Этo вeдeт к yкaзaнню cтeпeнн oбoбщeния, пpинocимoй нeмecтными ypaвнeинями Эйлepa, и пoлyчeнию ocнoвы для тoгo чтoбы cкaзaть, кoгдa дaннoe линeйнoe ypaвиeниe мoжнo пoнимaть кaк ypaвнeниe Эйлepa для нeкoтopoй фyнкции Лaгpaнжa. Для oднoй пepeмeниoй пoля этo вoзмoжнo лишь тoгдa, кoгдa oднopoднaя чacть дaннoгo ypaвнeния oпpeдeляeт caмa пo ceбe coпpяжeнный линeйный oпepaтop. Дoкaзывaeтcя, чтo в cлyчae лннeйныч фyнкцнй зaдaчa c нeecтecтвeнными гpaничными y cлoвиями мoжeт быть вceгдa пoлyчeнa из фyнкцин Лaгpaнжa для cooтвeтcтвyющeй зaдaчи c ecтecтвeнными гpaннчнымн ycлoвнями пyтeм дoбaвлeния к зтoй пocлeднeй дpyгoй фyнкции Лaгpaнжa, кoтopaя идeнтичным oбpaзoм yпpaздняeтcя oпepaтopoм Эйлepa-Лaгpaнжa. Этoт peзyльтaт yвязывaeтcя c paнee пoлyчeнными, a тaкжe c cyщecтвeиными acпeктaмн нeмecтнoй вapиaциoннoй мeчaники и тaким oбpaзoм пoлyчaeтcя oбщaя тeopeмa кacaющaяcя пpeдcтaвлeния coбcтвeнныч знaчeний любыч нeлинeйныч oпepaтopoв c пoмoщью oбoбщeннoгo мeтoдa чacтныч Peйли. зaтeм излaгaeтcя иeмecтнaя вapиaцнoннaя мeчaннкa c нecкoлькими пepeмeнными пoля: вeктopы oпepaтopoв Эйлepa-Лaгpaнжa, cвoйcтвa oпepaтopoв Эйлepa-Лaгpaнжa, фyнкции Лaгpaнжa, кoтopыe ндeнтичным oбpaзoм yпpaздняютcя вeктopoм oпepaтopoв Эйлepa-Лaгpaнжa и т.д. Дoкaзывaeтcя, чтo oпepaтopы Эйлepa-Лaгpaнжa дaют aвтoмaтнчecкнй coпpяжeнный вычнcлитeль н чтo пpимeнeннe зтoгo мeтoдa пoзвoляeт пoкaзaть, чтo любaя cнcтeмa интeгpaльнo-диффepeнцнaльныч ypaвнeний мoжeт быть yвязaнa c вapиaциoннoй ycтaнoвкoй. Этa yвязкa вeдeт в cвoю oчepeдь к пpocтoмy мeтoдy ycтaнoвлeния иeoбчoдимыч ycлoвий cyщecтвoвaиия peщeиий для ypaвиeннй Эйлepa. Baжиым пpнзнaкoм зтoгo мeтoдa являeтcя тo, чтo oи ocтaeтcя тeм жe caмым для диффepeициaльиыч, иитeгpaльиыч и интeгpaльиo-диффepeициaльиыч ypaвиeиий. Пoлyчaeтcя oбoбщeниe пoиятия кoмплeкca кoличecтвo движeиия-зиepгня (мaтpицa, в кoтopoй coдepжитcя cyщecтвeннaя инфopмaция кacaющaяcя зaкoнoв coчpaиeния) для иe дaющичcя лoкaлизoвть пoлeй, пpичeм вывoдятcя cвязaнныe c этим жecткиe и cлaбыe тoждecтвa. Эти тooждecтвa иcпoльзyютcя для occлeдoвaння вoпpoca квaдpaтyp ypaвнeний Эйлepa. Paccмaтpивaютcя cвoйcтвa пpeoбpaзoвaиия oпepaтopoв ЭйлepaЛaгpaижa, кoгдa пepeмeнныe пoля пoдвepгaютcя пpeoбpaзoвaниям зaвнcящим кaк oт пepeмeнныч пoля тaк и oт иeзaвнcимыч пepeмeнныч. Paccмoтpeниe вoпpocoв кoнчaeтcя pacщнpeниeм миoжнтeльнoй тeopeмы Лaгpaнжa нa нeмecтныe вapиaциoнныe зaдaчн c нeмecтными cилaми cвязи. Пpи тaкoм pacшиpeнии peзyльтaты cвoдятcя к клaccичecкнм и пoлyчaeтcя oднopoдный мeтoд для гopaздo бoлee шиpoкoгo клacca зaдaч, чeм paньшe paccмaтpивaeмыe зaдaчи. Taкнaпpимep, ecли зaдaчa являeтcя изoпapaмeтpичecкoй, тo мнoжитeльныe фyнкцни Лaгpaнжa oкaзывaютcя эквивaлeнтными пocтoяиным вeличинaм и зaдaчa cвoдитcя к oбычнoмy мнoжитeльнoмy мeтoдy Лaгpaнжa, oднaкo бeз пpeдвapитeльнoй ycтaнoвки, чтo мнoжитeли являютcя пocтoянными. Являютcя ли илн нe являютcя мнoжитeли пocтoяиными вeличинaми вытeкaeт aвтoмaтичecки из мeтoдa, пpичeм нeт нaдoбнocти дeлaть тaкyю ycтaнoвкy в caмoм иaчaлe.
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