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Correspondances modulaires et les fonctions $\zeta$ de courbes alg\'ebriques.

1958; Mathematical Society of Japan; Volume: 10; Issue: 1 Linguagem: Francês

10.2969/jmsj/01010001

1881-1167

Par Goro SHIMURA,

Algebraic Geometry and Number Theory

Correspondances modulaires et les fonctions $\zeta$ de courbes alg\'ebriques.Par Gor\^o SHIMURA (Regu le 5 Nov., 1957) M. Eichler [3] a d\'ecouvert qu'il $y$ a une relation \'etroite entre l'op\'era- teur $T_{p}$ d\'efini par E. Hecke et les fonctions $\zeta$ de certains corps de fonctions modulaires elliptiques qui sont en rapport avec les formes quadratiques.Dans ce travail nous allons g\'en\'eraliser cette relation.Soient $N$ un entier positif et $\mathfrak{M}_{N}$ le corps complet des fonctions modu laires elliptiques d'esp\'ece $(((Stufe)))N;\mathfrak{M}_{N}$ est un corps de fonctions alg\'e- briques d'une variable sur le corps des nombres complexes $C$ .Nous pouvons montrer qu'il $y$ a un sous-corps A ayant le corps des nombres rationnels $Q$ comme corps de constantes, qui engendre $\mathfrak{M}_{N}$ sur $C$ .Nous allons d\'emontrer que les fonctions $\zeta$ d'un tel corps $p$ , choisi convenablement, et de certains sous-corps de $\Omega$ sont represent\'ees explicitement par la fonction $\zeta$ de Rie- mann et les produits d'Euler introduits par E. Hecke et que les valeurs absolues des racines caract\'eristiques de l'op\'erateur $T_{p}$ de Hecke pour les formes paraboliques $('\backslash (Spitzenformen)))$ de degr\'e 2 ne d\'epassent pas $2\sqrt{p}$ pour presque tous les nombres premiers $p$ .Nous d\'emontrerons ces resultats en \'etablissant deux formules de congruence ((I) et (II) dans \S 3) pour les correspondances modulaires.Nous repr\'esentons d'abord le corps $\mathfrak{M}_{N}$ par lcs coordonn\'ees des points $t$ tels que $Nt=0$ sur une courbe elliptique $E$ dont l'invariant est transcendant sur $Q$ .L'op\'erateur $T_{p}$ de Hecke peut \^etre regard\'e comme la diff\'erentielle d'une correspondance alg\'ebrique que nous pouvons d\'efinir d'une mani\'ere alg\'ebro- g\'eom\'etrique par un homomorphisme $\lambda$ de $E$ tel que $\nu(\lambda)=p$ et que nous appelons la correspondance modulaire de degr\'e $p$ .Dans la th\'eorie de la multiplication complexe ([6], [7]), la relation de congruence ou la d\'ecom- position de l'homomorphisme $\pi$ a \'et\'e obtenue par la r\'eduction d'homomor- phismes d'une variet\'e ab\'elienne modulo un diviseur premier du corps de base.Une m\'ethode analogue est employ\'ee ici pour d\'emontrer la formule (I); nous consid\'ererons la r\'eduction de l'homomorphisme $\lambda$ modulo un diviseur premier.Seulement nous nous occupons au cas pr\'esent d'une courbe ellip- [ique sans multiplication complexe, mais on pourrait consid\'erer $\lambda$ comme une ( $(multiplication$ g\'en\'erique)) de la courbe elliptique.La formule com-2 G. SHIMURA plementaire (II) est d\'emontr\'ee au moyen du fait qui s'exprime dans la prop.7 (\S 2).Le r\'esultat pour les racines caract\'eristiques de l'op\'erateur $T_{p}$ est une cons\'equence de la formule (I).\S 1. Courbes elliptiques.1. Nous d\'esignerons par $Z,$ $Q$ et $C$ respectivement l'anneau des entiers rationnels, le corps des nombres rationnels et le corps des nombres complexes.Soit $A$ une vari\'et\'e ab\'elienne1).Nous d\'esignerons par $d(A)$ l'anneau des endomorphismes de $A$ , par $d_{0}(A)$ le produit tensoriel $d(A)\times Q$ et par $\delta_{A}$ l'\'el\'ement unit\'e de $d(A)$ .Soient $B$ une autre vari\'et\'e ab\'elienne de m\^eme dimension que $A$ et $\lambda$ un homomorphisme de $A$ sur $B$ .Soient $k$ un corps de d\'efinition pour $A,$ $B$ et $\lambda;x$ un point g\'en\'erique de $A$ par rapport \'a $k$ . Nous poseronsCes entiers ne d\'ependent que de $A,$ $B$ et $\lambda$ et non du choix de $k$ et de $x$ .Nous d\'esignerons par $\mathfrak{g}(\lambda)$ le noyau de $\lambda$ et par $\mathfrak{g}(n, A)$ le noyau de $n\delta_{A}$ pour chaque entier $n$ .Le groupe $\mathfrak{g}(\lambda)$ est d'ordre $\nu_{s}(\lambda)$ .Si $A$ est de dimen- sion $d$ , on a $\nu(n\delta_{A})=n^{2a}$ ; par suite $\mathfrak{g}(n, A)$ est d'ordre $n^{2a}$ si $n$ n'est pas multiple de la caract\'eristique de $k$ ([11]).Pour le cas o\'u $n$ est la carac-t\'eristique de $k$ , on a le lemme suivant dont la d\'emonstration est donn\'ee dans [8].LEMME 1. Soient $k$ un corps de caract\'eristique $p\neq 0$ et A une vari\'et\'e ab\'elienne de dimension $d$ d\'efinie par rapport \'a $k$ .On $a$ alors $\nu_{i}(p\delta_{A})\geqq p^{a}$ , $\nu_{s}(p\delta_{A})\leqq p^{a}$ .Soient $k$ un corps de caract\'eristique $p\neq 0,$ $q=p^{f}$ une puissance de $p$ , o\'u $f$ est un entier positif ou n\'egatif.Nous d\'esignerons par $k^{q}$ le corps des q-i\'emes puissances des \'el\'ements de $k$ .En faisant correspondre $z\in k$ \'a $z^{q}\in k^{q}$ on obtient un isomorphisme $\sigma$ de $k$ sur $k^{q}$ .Soient $V$ une vari\'et\'e d\'efinie par rapport \'a $k$ et $x$ un point de $V$ .Nous d\'esignerons par $V^{q}$ et par $x^{q}$ la vari\'et\'e $V^{\sigma}$ transform\'ee par $\sigma$ et le point de $V^{q}$ dont les coordonn\'ees sont les q-i\'emes puissances de celles de $x$ .Soient $h$ une application rationnelle de $V$ dans une vari\'et\'e $W$ , d\'efinie par rapport \'a $k$ , et $H$ le graphe de $h$ .Nous d\'esignerons par $h^{q}$ l'application de $V^{q}$ dans $W^{q}$ dont le graphe est 1) Il sera constamment fait usage des d\'efinitions et des r\'esultats de [9], [10],[11].Correspondances modulaires et les fonctions $\zeta$ de courbes $al\mathscr{A}briques$ .$H^{q}$ .Soient $A$ une vari\'et\'e ab\'elienne d\'efinie par rapport \'a $k$ et $O$ l'\'el\'ement neutre de $A$ .Nous entendrons par la notation $A^{q}$ toujours la vari\'et\'e ab\'elienne dont l'\'el\'ement neutre est $O^{q}$ .Si $\lambda$ est un homomorphisme de $A$ dans une vari\'et\'e ab\'elienne, d\'efini par rapport \'a $k,$ $\lambda^{q}$ est un homomorphisme de $A^{q}$ .Soit $x$ un point g\'en\'erique de $A$ par rapport \'a $k;x^{q}$ est alors un point g\'en\'erique de $A^{q}$ par rapport \'a $k$ .Comme on a $k(x)\supset k(x^{q})$ on obtient une application rationnelle $\pi$ de $A$ sur $A^{q}$ telle que $\pi x=x^{q}$ ; $\pi$ est un homo- morphisme de $A$ sur $A^{q}$ ; on a $\pi t=t^{q}$ pour tout point $t$ de $A$ .Nous appel- lerons $\pi$ l'homomorphisme de q-i\'eme puissance de $A$ .Si $A$ est de dimension $d$ , on a $\nu(\pi)=\nu_{i}(\pi)=q^{a}$ .LEMME 2. Soient $A,$ $B,$ $C$ trois vari\'et\'es ab\'eliennes de meme dimension, $\lambda$ un homomorphisme de A sur $B$ et $\mu$ un homomorphisme de A sur C. Supposons que $\mathcal{A}(A)$ soit isomorphe \'a $Z$ et que l'on ait $\nu(\lambda)=\nu(\mu),$ $\nu_{i}(\lambda)=\nu_{i}(\mu)=1$ .Alors, pour que $B$ soit isomorphe \'a $C$ , il faut et il $suJfit$ qu'on ait $\mathfrak{g}(\lambda)=\mathfrak{g}(\mu)$ .D'apr\'es le th.17 de [11] $n^{o}34$ , si l'on a $\mathfrak{g}(\lambda)=\mathfrak{g}(\mu),$ $B$ est isomorphe \'a $C$ .R\'eciproquement supposons qu'il existe un isomorphisme $\eta$ de $B$ sur $C$ .D'apr\'es le th.27 de [11]il $y$ a deux entiers $n,$ $n^{\prime}$ autres que $0$ tels que $ n\alpha\eta\lambda=n^{\prime}\alpha\mu$ .On a alors $\nu(n\delta_{A})\nu(\alpha)\nu(\eta)\nu(\lambda)=\nu(n^{\prime}\delta_{A})\nu(\alpha)\nu(\mu)$ .Si l'on d\'esigne par $d$ la dimension de $A$ , on a $\nu(n\delta_{A})=n^{2d},$ $\nu(n^{\prime}\delta_{A})=n^{\prime 2d}$ .Comme $\nu(\eta)=1$ et $\nu(\lambda)=\nu(\mu)$ , on a $n=\pm n^{\prime}$ et par cons\'equent $\eta\lambda=\pm\mu$ ; d'o\'u r\'esulte $\mathfrak{g}(\lambda)=\mathfrak{g}(\eta\lambda)=\mathfrak{g}(\angle l)$ .LEMME 3. Les notations $A,$ $B,$ $C,$ $\lambda,$ $\mu$ et les hypolh\'eses \'etant celles $du$ lemme 2, soient $k$ un corps de d\'efinition pour $A,$ $B,$ $C,$ $\lambda,$ $\mu$ et $\sigma$ un isomorphisme de $k$ tel que $A^{\sigma}=A,$ $B^{\sigma}=C$ .On $a$ alors $\lambda^{\sigma}=\pm\mu$ .D'apr\'es le lemme 2, on a $\mathfrak{g}(\lambda^{\sigma})=\mathfrak{g}(\mu)$ .Il $y$ a donc un automorphisme $e$ de $C$ tel que $\lambda^{\sigma}=\epsilon\mu$ en vertu du th.17 de [11] $n^{o}34$ .Comme $C$ est isog\'ene \