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Joseph Louis Lagrange's algebraic vision of the calculus

1987; Elsevier BV; Volume: 14; Issue: 1 Linguagem: Francês

10.1016/0315-0860(87)90002-4

1090-249X

Craig Fraser,

Historical and Literary Studies

Prior to the development of real analysis in the 19th century, J.L. Lagrange had provided an algebraic basis for the calculus. The most detailed statement of this program is the second edition of his Leçons sur le calcul des fonctions 1806. The paper discusses Lagrange's conception of algebraic analysis and critically examines his demonstration of Taylor's theorem, the foundation of his algebraic program. Lagrange's striking algebraic style is further explored in two specific subjects of the Leçons: the theory of singular solutions to ordinary differential equations and the calculus of variations. A central theme of the paper concerns Lagrange's treatment of exceptional values in his demonstration of analytical theorems. The paper concludes that Lagrange's algebraic program was a natural one, but that the conception of a functional relation given by a single analytical expression was too restrictive to provide an adequate basis for analysis. Noch vor der Entwicklung der reellen Analysis im 19. Jahrhundert hatte J.L. Lagrange schon eine algebraische Grundlage für die Infinitesimalrechnung geliefert. Als ausführlichste Darstellung dieses Programms gilt die zweite Ausgabe seiner Leçons sur le calcul des fonctions (1806). Der Aufsatz behandelt Lagranges Auffassung von der algebraischen Analysis und prüft kritisch seinen Beweis für Taylors Satz, die Grundlage seines algebraischen Programms. Weiterhin wird Lagranges eindrucksvoller algebraischer Stil am Belspiel zweier bestimmter Themen seiner Leçons untersucht, der Theorie der singulären Lösungen für gewöhnliche Differentialgleichungen und der Variationsrechnung. Ein zentrales Thema des Aufsatzes betrifft Lagranges Behandlung der Ausnahmewerte in seinem Beweis für analytische Sätze. Schliesslich wird im Aufsatz darauf hingewiesen, dass Lagranges algebraisches Programm natürlich war, daß aber seine Auffassung von einer funktionalen Beziehung, die durch einen einzigen analytischen Ausdruck gegeben ist, zu begrenzt war, um eine angemessene Grundlage für die Analysis zu liefern. Avant le développement au XIXe siècle de l'analyse réelle, J.-L. Lagrange avait proposé de fonder le calcul différentiel sur une base algébrique. Ce programme fut exposé avec le plus de détails dans la deuxième édition de son Leçons sur le calcul des fonctions (1806). Notre étude porte sur la conception qu'avait Lagrange de l'analyse algébrique, et présente une analyse critique de sa démonstration du théorème de Taylor, fondement de son programme algébrique. Nous explorons par la suite le style algébrique de Lagrange par le biais de deux sujets spécifiques du Leçons: la théorie des solutions singulières des équations différentielles ordinaires et le calcul des variations. La façon dont Lagrange traite les valeurs exceptionnelles dans sa démonstration des théorèmes d'analyse constitue un thème important de notre étude. Nous concluons que le programme algébrique de Lagrange, tout en étant naturel, reposait sur une conception trop restrictive de la relation fonctionelle, réduite à être représentée par une seule expression analytique, pour fournir une base adéquate de l'analyse.