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Dual et quasi-dual d’une algèbre de Banach involutive

1962; American Mathematical Society; Volume: 104; Issue: 2 Linguagem: Francês

10.1090/s0002-9947-1962-0139960-6

1088-6850

J. Dixmier,

Advanced Operator Algebra Research

Le présent travail est une suite à un mémoire de J. A. Ernest [4].Pour abréger, nous renvoyons à [4] pour les définitions et les notations principales.Soit W une algèbre de Banach involutive separable.On considère les représentations factorielles de W dans des espaces hilbertiens separables^) ; les classes de quasi-équivalence de telles représentations forment un ensemble V? qui a été muni dans [4] d'une structure borélienne; l'espace borélien W est appelé quasi-dual de W. Par ailleurs soit W l'ensemble des classes d'équivalence de représentations irréductibles de W dans des espaces hilbertiens separables; l'ensemble "W a été muni par G. W. Mackey [7] d'une structure borélienne; l'espace borélien "W est appelé dual de V?.Deux représentations irréductibles de V? sont quasi-équivalentes si et seulement si elles sont équivalentes.D'autre part, une représentation factorielle ir de *W est quasi-équivalente à une représentation irréductible si et seulement si w est de type I. Par suite, il existe une application bijective évidente i> de W sur l'ensemble "Wi CW des classes (pour la quasi-équivalence) de représentations factorielles de type I de W. Nous montrerons dans ce mémoire que °Wi est une partie borélienne de *W et que <3? est un isomorphisme d'espaces boréliens.Des résultats partiels dans cette direction (non publiés) avaient déjà été obtenus par J. A. Ernest.Rappelons qu'on note 77i, 772, ■ • • , H" les espaces hilbertiens separables types de dimension 1, 2, •• -, » ; qu'on note °We" l'ensemble des représentations de W dans 77", "W' la réunion des VP%, W l'ensemble des représentations factorielles appartenant à W; nous noterons *Wirr l'ensemble des représentations irréductibles appartenant à W. L'ensemble V?c est muni d'une structure d'espace borélien standard, et VPen, V?p, Wrr sont des sous-ensembles boréliens de W.Si 77" est un espace hilbertien, on désignera par L(H) l'ensemble des opérateurs linéaires continus dans H.Dans les Lemmes 1 et 2, nous sommes obligés de reprendre les raisonnements de [l, §6, Lemme 3 et Théorème 4], avec des hypothèses légèrement différentes.Nous adoptons les notations de [l].Rappelons qu'on appelle crible une suite C=(C", pn)n20 telle que, pour tout w, C" soit un ensemble