Portal de Periódicos da CAPES

A perturbation procedure for weakly coupled oscillators

1972; Elsevier BV; Volume: 7; Issue: 1 Linguagem: Inglês

10.1016/0020-7462(72)90026-1

1878-5638

Howard Arthur Kabakow,

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation

Problems involving systems of oscillators with weak non-linear (polynomial) coupling are of interest in connection with the ergodic problem of statistical mechanics and as simple models of non-linear interactions. These systems have been studied by Ford and Waters [1] and Jackson [2, 3], who used variations of the Wigner-Brillouin (WB) procedure to calculate the dynamics. The principal difficulty with WB is that it places too strong a restriction on the analytic form the answer can take. With this restriction, the famous “small divisor” problem can emerge at some point in the calculation. This paper describes the “N-timing” procedure (of which WB is essentially a special case), shows how it can be applied to calculate the long-time dynamics of coupled oscillator systems, and establishes by computer experiments the accuracy of N-timing for a particular example. A subsequent paper will present an example in which small divisors arise and show how they can be eliminated by N-timing. Les problèmes faisant intervenir des systèmes d'oscillateurs avec un couplage faible non-linéaire (polynomial) présentent de l'intérêt en rapport avec le problème ergodique de la mécanique statistique et en tant que modèles simples d'interactions non linéaires. Ces systèmes ont été étudiés par Ford et Waters (1) ainsi que par Jackson (2) qui ont utilisé des variantes de la méthode de Wigner-Brillouin (WB) pour en calculer la dynamique. La principale difficulté de la méthode WB est qu'elle restreint trop fortement la forme analytique que peut prendre la solution. Avec cette restriction le fameux problème du “petit diviseurs” peut apparaître à un moment des calculs. Cet article décrit la méthode “N-timing” (dont la méthode WB est un cas particulier), montre comment on peut l'appliquer pour calculer la dynamique à long terme de systèmes d'oscillateurs couplés et enfin établit, à l'aide d'expériences à l'ordinateur, la précision du “N-timing” sur un exemple particulier. Un article suivant montrera un exemple dans lequel des petits diviseurs apparaissent et le moyen de les éliminer par le “N-timing”. Probleme, die sich mit Oszillatorensystemen mit schwacher nichtlinearer (polynomischer) Kopplung befassen, sind in Verbindung mit dem ergodischen Problem in der statistischen Mechanik und als einfache Modelle nichtlinearer Wechselwirkungen von Interesse. Diese Systeme wurden von Ford und Waters [1] und Jackson [2], [3], die Variationen des Wigner-Brillouin (WB) Verfahrens für die Berechnung der Dynamik benützten, untersucht. Die Hauptschwierigkeit mit WB besteht darin, dass es der analytischen Form der Antwort eine zu starke Beschrünkung auferlegt. Mit dieser Beschränkung kann das berühmte Problem des “kleinen Teilers” an irgendeinem Punkt in der Berechnung auftauchen. Diese Veröffentlichung beschreibt das “NSteuerung” Verfahren (von dem WB im wesentlichen einen speziellen Fall darstellt), beschreibt in welcher Weise es für die Berechnung der Langzeit-Dynamik gekoppelter Oszillatorensysteme angewandt werden kann und bestimmt schliesslich die Genauigkeit der N-Steuerung mit Hilfe von Computer-berechnungen fur ein spezielles Beispiel. Eine spätere Veröffentlichung wird ein Beispiel enthalten bei dem kleine Teiler auftreten und zeigen, wie sie mit Hilfe von N-Steuerung eliminiert werden können. т;e;o;p;ия c;иc;т;e;M; o;c;ниллят;o;p;Ч;v c;o; c;лa;быM; qpe;линe;йныM; (qpo;ли нo;M;иa;ль ныM;) B;зa;иM;o;дe;йc;т;B;иe;M; инт;e;p;e;c;нa; B; c;B;язи c; эp;гo;диЧ;e;c;кo;й иp;o;блe;M;o;й B; c;т;a;т;иc;т;и Ч;e;c;кo;й M;e;чa;никe;, a; т;a;кжe; кa;к т;e;o;p;ия qpp;o;c;т;ыч M;o;дe;лe;й нe;линe;йнo;гo; B;зa;иM;o;дe;йc;т;B;и я. c;иc;т;e;M;ы o;c;циллят;o;p;o;B; иc;c;лe;дo;B;a;лиc;ь фo;p;дo;M; и yo;т;e;p;c;o;M; [1] (1963), a; т;a;кжe; Джe;кc;o;нo;M; [2, 3] (1963a, 1963b), кo;т;o;p; ыe; для иc;c;лe;дo;B;a;ния динa;M;иЧ;e;c;кич qpp;o;цe;c;c;o;B; qpp;иM;e;няли M;o;дифи циp;o;B;a;нный M;e;т;o;д yинe;p;a;-Бp;иy (WB). M;e;т;o;д WB B; иe;кo;т;o;p;ыч c;лyЧ;a;яч т;p;e;бye;т; c;лишкo;M; ж\̈yec;т;кич o;гp;a;ниЧ;e;ний иa; a;нa;лит;иЧ;e;c;кий B;ид p;e;зyльт;a;т;o;B;. К т;o;M;yжe; B;ынo;лнe;нии т;p;e;бo;B;a;ний M;e;т;o;дa; B; иe;кo;т;o;p;o;M; M;e;c;т;e; p;a;c;Ч;e;т;o;B; M;o;жe;т; qpo;яB;ит;ьc;я изB;e;c;т;ный c;лyЧ;a;й ⪡ M;a;лыч дe;лит;e;лe;й ⪢ B; c;т;a;т;ьe; qpp;e;дc;т;a;B;лe;н ⪡N-B;p;e;M;e;ннo;й ⪢ M;e;т;o;д, qpo;кa;зa;нo; кa;к M;o;жнo; e;гo; qpp;иM;e;нит;ь для o;иp;e;дe;лe;ня динa;M;иЧ;e;c;кo;гo; c;o;c;т;o;яния c;o;пp;яжe;ннo;й c;иc;т;e;M;ы o;c;циллят;o;p;o;B; B; т;e;Ч;e;нии длит;e;льнo; гo; B;p;e;M;e;ни, yc;т;a;иo;B;лe;нa; т;o;Ч;нo;c;т;ь N-B;p;e;M;e;ннo;гo; M;e;т;o;дa; для нe;кo;т;o;p;ыч Ч;a;c;т;ныч c;лyЧ;a;e;B; qpp;и qi p;иM;e;M;e;нии элe;кт;p;o;ннo;-c;Ч;\̈yeт;нo;й M;a;шиы. B; c;лe;дyyщe;й c;т;a;т;ьe; бyдe;т; пp;e;дc;т;a;B;лe;н пp;иM;e;p;, B; к o;т;o;p;o;M; иo;яB;лyт;c;я M;a;лыe; дe;лит;e;ли и кo;т;o;p;ыe; M;o;гyт; быт;ь иc;клyЧ;e;ны пp;и M;e;т;o;дe; N-B;p; e;M;e;ни.