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Effect of non-homogeneity on the transverse vibrational frequency of uniform beams

1968; Elsevier BV; Volume: 6; Issue: 11 Linguagem: Francês

10.1016/0020-7225(68)90065-7

1879-2197

R. D. Marangoni, G. Fauconneau, L. Albert Scipio,

Topology Optimization in Engineering

The object of this investigation has been to investigate the effect of non-homogeneity, caused by thermal gradients, on the transverse vibrational frequency of uniform beams. The particular types of thermal gradients considered are the (1) constant, (2) linear, and (3) trigonometric. For the determination of the eigenfrequencies, upper and lower bounding techniques have been utilized in an effort to effectively bracket the eigenvalues. These bounding techniques include the Rayleigh-Ritz method for upper bounds and the Method of Second Projection for lower bounds. This study is of interest, not only because the results are of immediate use to designers, but also because it is possible to compare the results obtained from simpler approximate engineering methods to the more refined results obtained by the Rayleigh-Ritz and Second Projection Methods. In addition to this, since the methods presented here are quite general, they can be easily applied to a variety of other vibrational problems. Le présent article est consacré à l'étude de l'effet de l'hétérogénité due aux gradients thermiques sur la fréquence des vibrations transversales des poutres de section uniforme. Les types de gradient thermique pris en considération sont (1) le gradient constant, (2) le gradient à variation linéaire et (3) le gradient à variation sinusoïdale. Les fréquences de résonance de ces poutres ont été déterminées à l'aide de méthodes permettant d'en calculer les limites supérieure et inférieure effectives. Celles-ci comprennent la méthode de Rayleigh-Ritz pour la limite supérieure et la méthode de seconde projection pour la limite inférieure. L'intérêt de cette étude est dû non seulement au fait que les résultats obtenus sont directement utilisables par les ingénieurs, mais également à ce qu'elle permet de comparer les résultats fournis par des méthodes simples et approchées à ceux donnés par les méthodes plus complexes de Rayleigh-Ritz et de la seconde projection. De plus, le caractère général des méthodes décrites permet de les appliquer facilement à divers problèmes du domaine des vibrations. Der Gegenstand dieser Untersuchung war der Einfluss des Wärmegradienten auf die transversale Schwingungsfrequenz homogener Balken. Die besonderen Typen der thermischen Gradienten, die hier betrachtet werden, sind (1) der konstante, (2) der lineare und (3) der trigonometrische Gradient. Für die Bestimmung der Eigenfrequenzen wurden Methoden der oberen und der unteren Eingrenzung verwendet, um die Eigenwerte festlegen zu können. Zu diesen Eingrenzungsmethoden gehören die Rayleigh-Ritz-Methode für obere Grenzen und die Methode der zweiten Projektion für untere Grenzen. Die Untersuchung ist nicht nur wegen der für den Konstrukteur unmittelbar verwendbaren Ergebnisse von Interesse, sondern auch weil es möglich ist, die Ergebnisse einfacherer annähernder Konstruktionsmethoden mit den genaueren Ergebnissen der Rayleigh-Ritz-Methode und der Methode der zweiten Projektion zu vergleichen. Ausserdem können die hier dargestellten Methoden, da sie ganz allgemein sind, leicht auf verschiedene andere Schwingungsprobleme angewendet werden. Scopo della presente indagine è quello di esaminare l'effetto di non-omogeneità, causata da gradienti termici, sulla frequenza di vibrazione transversale di fasci uniformi. I particulari tipi di gradienti termici considerati sono quello costante (1), quello lineare (2) e quello trigonometrico (3). Per la determinazione delle frequenze proprie, si sono sfruttate tecniche di delimitazione superiore ed inferiore al fine di tentare di dare sostegno efficace alle frequenze proprie. Tali tecniche delimitative comprendono il metodo Rayleigh-Ritz per i limiti superiori e quello della seconda proiezione per i limiti inferiori. Questo studio riesce interessante non solo perché i risultati sono di utilità diretta per i progettatori ma anche perché rende possibile comparare i risultati ottenuti dai più semplice metodi tecnici di approssimazione con quelli più accurati ottenuti coi metodi di Rayleigh-Ritz e di seconda proiezione. Dato poi che i metodi qui presentati sono del tutto generali, li si possono facilmente applicare a tutta una varietà di altri problemi vibrazionali. Пpeдмeтoм нacтoящeгo иccлeдoвaния являeтcя изyчeни e влияння нeoднopoдиocти, вызвaннoй тepмнчecкими гpaдиeнтaми, нa чacтoтy пoнepe чныx кoлeбaиий poвныx бaлoк. B чacтнocти вилaми paccмaтpивaeмыx тepмичecкиx гpaлиeнтoв являe тcя (1) пocтoянный, (2) линeйный и (3) тpигoнoмeтpичecкий гpaдиeит. Для oпpeдeлeиия coбcтвeнныx чacтoт кoлeбaний иcнoльз yютcя мeтoды вepxиeй и нижиeй гpaнины c нeлью эффeктивиoй yвязки coбcтвeнныx знaчeн ий. B эти гpxничныe мeтoды включeн мeтoд. Peйли-pиц для вepxниx гpaниц и мeтoд втopoй пpoeк ции для нxжниx гpaниц. Этo иccлeдoвaниe нpeдcтaвляeт интepec нe тoлькo пoтoм y, чтo eтo peзyльтaты мoгyт быть иeнocpeдcтвeннo иcпoльзoвaны пpoeктaнтaми, нo и нoтoм y, чтo мoжнo cpaвнивaть peзyльтaты пoлyчaeмыe пyтeм бoлee пpocтыx пpиближeнныx тexничec киx мeтoдoв c бoлee тoчными peзyльтaтaми пoлyчaeмыми мeтoдaми peйли-pиц и втopoй пpoeкции. Cвep x тoгo, тaк кaк здecь пpeдcтaвлeнныe мeтoды имeют пoлнocтью oбщий xapaктep, иx. Moжнo лeгкo пpимeиять к paзличным дpyгим зaдaчaм пo кoлeбaниям.