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Axisymmetric wave propagation in a solid viscoelastic sphere

1967; Elsevier BV; Volume: 5; Issue: 12 Linguagem: Inglês

10.1016/0020-7225(67)90014-6

1879-2197

K. C. Valanis, C.T. Sun,

Rheology and Fluid Dynamics Studies

Two problems of linear wave propagation in a viscoelastic solid sphere are solved. The waves are generated by two types of impact on the surface of the sphere. The deformation has symmetry with respect to an axis through the center of the sphere. The solution is based on a superposition principle which reduces the general solution to a static elastic solution, an elastic solution of an eigenvalue problem and an integral equation of the Volterra type involving time only. The solutions are given in double infinite series involving spherical Bessel functions, Legendre polynomials and Legendre functions of the first kind and order one. On donne la solution de deux problèmes de propagation linéaire d'une onde dans un solide sphérique, visco-élastique. Les ondes sont engendrées par deux modes d'impact à la surface de la sphère. La déformation possède un axe de symétrie passant par le centre de la sphère. La solution est basée sur un principe de superposition qui réduit la solution générale à une solution stato-élastique, une solution élastique du problème des valeurs propres et une équation intégrale du type de Volterra impliquant de fonctions sphériques de Bessel, des polynomes de Legendre et des fonctions de Legendre de première espèce et du premier ordre. In diesem Beitrag werden zwei Probleme der linearen Wellenfortpflanzung in einer viskoelastischen festen Kugel gelöst. Die Wellen werden durch zwei auf die Oberfläche der Kugel einwirkende Stosstypen hervorgerufen, wobei die Verformung in Bezug auf eine durch das Kugelzentrum verlaufende Achse symmetrisch liegt. Die Lösung beruht auf einem Superpositionssatz, der die allgemeine Lösung auf eine stitische, elastische Lösung, eine elastische Lösung des Eigenwertproblems und auf eine Integralgleichung des Volterra-Typs reduziert, bei der sphärische Besselfunktionen, Legendrepolynome und Legendrefunktionen der ersten Art und Ordnung vorkommen. Si risolvono due problemi concernenti la propagazione lineare di onde in una sfera solida viscoelastica. Le onde sono generate da due tipi d'urto sulla superficie della sfera. La deformazione è simmetrica rispetto a un asse attraversante il centro della sfera. La soluzione è basata su un principio di sovrapposizione che riduce la soluzione generale a una elastica statica, a una soluzione elastica del problema eingenvalore e a un'equazione integrale di tipo Volterra interessante le funzioni sferiche di Bessel, i polinomiali di Legendre e la funzioni di Legendre di primo grado e genere. Peшaютcя лвe зaдaчи пo pacпpocтpaнeнию линeйнoй вoлны в вязкoyпpyгoм твepдoм шape, Boлны вызывaютcя двyмя poдaми yдapoв пo пoвepчнocти шapa. Дeфopмaция oблaдaeт cиммeтpиeй пo oтнoшeнию к ocи пpoчoдящeй чepeз цeятp шapa. Peшeниe ocнoвaнo нa пpинципe cyпepпoзнции, кoтopый пpивoдит oбщee peшeниe к cтaтичecкoмy peшeнию гy yпpyгocти, к peшeнию Пo yпpyгocти зaдaчи нaчoждeния coбcтвeннoгo знaчeния и к интeгpaльнoмy ypaвнeнию типa Boльтeppa, в coчeтaнии co cфepичecкими фyнкцями Бecceля, мнoгoчлeнaми Лeжaндpa и c фyнкциями Лeжaндpa пepвoгo poдa и Пepвoгo пopядкa.