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Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination

1885; Mittag-Leffler Institute; Volume: 6; Linguagem: Francês

10.1007/bf02400412

1871-2509

Jules Molk,

Healthcare Systems and Practices

Introduction.Les voles nouvelles ouvertes k l'Alg~bre par les travaux de GAuss, d'ABEL et de GALOre ont dt~ le point de d~part des recherches de M. KROSECKER sur la thSorie gdn~rale~ de l'~limination.Ces recherches sont intimement li~es k celles qui ont pour objet l'~tude des syst~mes de divlseurs d'un syst~me de fonctions enti~res.Je me suis propose, dans ce mdmoire, d'exposer les unes et les autres, en me pla~ant au point de vue arithmdtique de M. KRONECKER.Pour bien faire saisir l'esprit des m~thodes employdes il m'a sembl~ n~cessaire de prdciser tout d'abord l'id~e d'irrdductibilitd dans un domaine de rationalit~ donn& J'ai ensuite d6velopp~ les premiers ~ldments de la thdorie des syst~mes de diviseurs dont l'introduction en AlgSbre est due M. KRONECKEa.Aprds avoir exposd quelques thdor~mes sur l'~li,nination d'une variable entre de~ux dquations, j'ai enfin abordd l'objet mdme de ce mdmoire, la th~orie g~n~rale de l'dlimination.Je ddsirerais sur~ut ~claircir quelques points du grand mdmoire que M. KRONECKEa a publiC, en Septembre I88~, ~ ['occasion du cinquantidme Acta ma~hemattca, 6. lmprim~ 23 Mai 1884. 1 g.Molk.oh F ddsigne une fonction enti6re k coefficients rationnels, est 6quivalente k la congruencedans laquelle u ddsigne une inddtermin6e.La m~me chose a lieu pour les nombres imaginaires que l'on empl~)ie ordinairement en Analyse, le module de la Congruence dtant alors @2 + I).Dans des recherches sp6ciales d'Arithmdtique il peut 6tre convenable d'employer, d'autres imaginaires que v:--x; cela revient ~ remplacer le module (x ~ + I) par un autre module qui siinplifie d'avantage la recherche particuli6re que l'on effectue.3-Ce que j'ai dit du domaine particulier ~; l'Arithm6tique et b, l'Alg6bre indique la marche b, suivre dans tout expos6 des r6sultats principaux obtenus dans ces deux sciences.Les ddfin~ions devront ~tre alg~briques et non pas logiques seulement.I1 ne suffit pas de dire: ))Une chose est ou elle n'est pas~.I1 faut montrer ce que veut dire ~tre et ne pas dtre, dans le domaine particulier dans lequel nous nous mouvons.Alors seulement nous faisons un pas en avant.Si nous d~finissons, par exemple, une fonction irr6ductible comme une fonction qui n'est pas r6ductible, c'est k dire qui n'est pas d6composable en d'autres fonctions d'une nature ddtermin6e, nous ne donnons point de d6finition alg6brique, nous n'dnon~ons qu'une simple v6rit6 logique.Pour qu'en AlgObre, nous soyons en droit de donner cctte d6finition, il faut qu'elle soit pr6c6d6e de l'expos6 d'une m6thode nous permettant d'obtenir ~ l'aide d'un nombre fini d'op6rations rationnelles, lea facteurs d'une fonction-r6ductible.Seule cette m~thode donne aux mots rdductible et irrdductible un sens alg6brique.Un raisonnement comme celui-ci: ~Si des quantit6s donn6es, en oombre infini, sont comprises entre des limites finies, il existe ndcessairement une limite inf~rieure de ces quantitds)), est parfaitement logique.I1 n'est point alg6briq~e.Ce qu'il faut c'est donner une m6thode pour d6terminer, l'aide d'un nombre tlni d'op6rations rationnelles, cette limite inf~rieure.Alors seulement nous faisons de rAlg6bre.Il convient enfin d'dviter particuli6rement toute incursion dans le domaine de la G~oin6trie.L'id6e de continuit6 g6om6trique dolt nous ~tre d'autant plus 6trangSre que nous grouperons les hombres, non d'apr~s 9 . .X 0')) g(~; x', x", ..., x'") =.g0(x', x", ..., x,'))~"--g,(~', ~", .. ., x(")~"-' + ... , + g. (x:, x", z (')); * 9 __ 9 * t,