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On the solution of the nonlinear heat conduction equations by numerical methods

1973; Elsevier BV; Volume: 16; Issue: 3 Linguagem: Inglês

10.1016/0017-9310(73)90225-1

1879-2189

C. Bonacina, G. Comini,

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics

A three-time level implicit scheme for the numerical solution of the multidimensional heat conduction equations when the thermophysical properties depend on temperature is presented. As the thermophysical properties are evaluated at the intermediate time level, the complication of solving a set of nonlinear equations at each time step is avoided. In the case of boundary conditions of the first kind the method is shown to be unconditionally stable and convergent. Boundary conditions of the second and third kind are then dealt with in a similar way by suitably defining “equivalent thermal conductivities”. This procedure is used to simulate several convective heating and cooling tests on “Tylose” samples which have strongly temperature dependent thermophysical properties. Temperature fields in squares subjected to boundary conditions of the second and third kind are thus computed and satisfactorily compared with the results of the experiments. On présente un schéma implicite à trois niveaux dans le temps pour la résolution numérique des équations de la conduction de la chaleur quand les propriétés thermophysiques dépendent de la température. Comme ces dernières sont évaluées à l'époque intermédiaire, la compléxité de la résolution du système d'équations non-linéaires à chaque pas dans le temps est évitée. Dans le cas des conditions aux limites de première espèce, on montre que la méthode est absolument stable et convergente. Les conditions aux limites de seconde et troisième espèce sont traitées de la même manière à l'aide de “conductivités thermiques équivalentes” convenablement définies. Cette procédure est utilisée pour simuler plusieurs essais de chauffage et de refroidissement par convection d'échantillons de “Tylose” qui ont des propriétés thermophysiques dépendant fortement de la température. Des champs de température dans des carrés soumis aux conditions aux limites de seconde et troisième espèce sont alors calculés et comparés de manière satisfaisante aux résultats expérimentaux. Ein implizites Differenzenschema mit drei Zeitebenen zur numerischen Lösung mehrdimensionaler Wärmeleitungsgleichungen mit temperaturabhängigen thermophysikalischen Eigenschaften wird beschrieben. Da die thermoplastischen Eigenschaften bei der mittleren Zeitebene genommen werden, wird die Schwierigkeit umgangen, bei jedem Zeitschritt einen Satz nichtlinearer Gleichungen lösen zu müssen. Für die Randbedingungen erster Art zeigt es sich, dass die Methode in jedem Fall stabil und konvergent ist. Randbedingungen zweiter und dritter Art werden ähnlich behandelt, indem in geeigneter Weise “äquivalente Wärmeleitfähigkeiten” definiert werden. Dieses Verfahren wird angewendet, um verschiedene konvektive Aufheiz- und Kühlvorgänge an “Tylose”-Proben zu simulieren, die stark temperaturabhängige thermophysikalische Eigenschaften haben. Temperaturfelder in Vierkantprismen bei Randbedingungen zweiter und dritter Art werden auf diese Weise berechnet. Sie stimmen in befriedigender Weise mit experimentellen Ergebnissen überein. OпиcывAeтcя тpeчcлoйнAя нeявнAя cчeмA чиcлeннoгo peшeния мнoгoмepныч ypAвнeний тeплoпpoвoднocти, кoгдA тeплoфизичecкиe cвoйcтвA зAвиcят oт тeмпepAтypы. Пocкoлькy тeплoфизичecкиe cвoйcтвA pAccчитывAютcя для пpoмeзyтoчнoгo cлoя, этo пoзвoляeт избeзAть зAтpyднeний пpи peшeнии cиcтeмы нeлинeйныч ypAвнeний нA кAздoм шAгe пo вpeмeни. ПoкAзAнo, чтo в cлyчAe гpAничныч ycлoвий пepвoгo poдA этoт мeтoд дAeт ycтoйчивyю cчoдимocть peзyльтAтoв. зAтeм, oпpeдeлив cooтвeтcтвyющим oбpAзoм ⪡ эквивAлeнтнyю тeплoпpoвoднocть⪢, pAccмAтpивAют гpAничныe ycлoвия втopoгo и тpeтьeгo poдA. Этo мeтoд иcпoльзoвAлcя для мoдeлиpoвAния кoнвeктивнoгo нAгpeвA нA oбpAзцAч ⪡ тилoзы⪢, тeплoфизичecкиe cвoйcтвA кoтopoй cильнo зAвиcят oт тeмпepAтypы. TAким oбpAзoм pAccчитAны тeмпepAтypныe пoля в тeлAч квAдpAтнoй фopмы пpи гpAничныч ycлoвияч втopoгo и тpeтьeгo poдA; cpAвнeниe c экcпepимeнтoм пoкAзывAeт yдoвлeтвopитeльнoe coвпAдeниe.