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Le produit star de Kontsevich sur le dual d'une algèbre de Lie nilpotente

1998; Elsevier BV; Volume: 327; Issue: 9 Linguagem: Francês

10.1016/s0764-4442(99)80112-8

1778-3577

Didier Arnal,

Advanced Algebra and Geometry

Dans [3], Maxim Kontsevich construit explicitement, pour chaque structure de Poisson a sur l'espace ℝd, un produit star piloté par α. Lorsque a est linéaire, donc lorsque ℝd est le dual d'une algèbre de Lie g, Kontsevich compare ce produit avec celui défini dans [2] par S. Gutt. La présence de ≪ roues ≫ dans les graphes de Kontsevich fait que ces produits diffèrent. Si g est nilpotente, les roues n'apparaissent pas et les deux produits coïncident. Le but de cette Note est d'établir directement ce résultat en calculant les coefficients du produit de Kontsevich dans ce cas particulièrement simple. In [3], Maxim Kontsevich defines explicitely, for each Poisson structure n on the space ℝd, a star product on ℝd. If α is linear, i.e. if (ℝd, α) is the dual of a Lie agebra g, Kontsevich compares his star product with the product defined by S. Gutt in [2]. Due to the existence of “wheels” in the Kontsevich's graphs, these two deformations are distinct. If g is nilpotent, the wheels do not appear and the star products coincide. In this Note, we prove this result by computing directly the coefficients of the Kontsevich's star product for this very simple case.