An exact solution of extended Graetz problem with axial heat conduction
1989; Elsevier BV; Volume: 32; Issue: 9 Linguagem: Inglês
10.1016/0017-9310(89)90053-7
ISSN1879-2189
Autores Tópico(s)Nanofluid Flow and Heat Transfer
ResumoThe convective heat transfer properties of a hydrodynamically, fully developed viscous flow in a circular tube are analyzed without using any simplified assumption such as low Reynolds numbers or Peclet numbers. The pipe is then subjected to a step-change in wall temperature. A straightforward approach using the Fourier transform technique is utilized to obtain analytical expressions for temperature distribution, heat flux, and Nusselt numbers. The effects of axial heat conduction are included in these expressions in both the upstream and the downstream directions for Peclet numbers ranging from 0 to ∞. By first taking the Fourier transform of the temperature field and expanding the coefficients of the transformed temperature in terms of the Peclet number, the energy equation with discontinuous wall temperature and longitudinal heat conduction is transformed into a set of ordinary differential equations. This resulting set of equations is then solved successively. The representative curves illustrating the variations of bulk temperature, heat flux, and Nusselt numbers with pertinent parameters are plotted. The asymptotic Nusselt numbers for small, as well as large Peclet numbers, is obtained as 3.6565, compared to the exact classical value of 3.6568. The significance of each curve is also discussed. La convection thermique d'un écoulement visqueux hydrodynamiquement établi dans un tube circulaire est analysée sans hypothèse simplificatrice telle que faible nombre de Reynolds ou de Péclet. Le tube est soumis à un changement d'échelon de température de paroi. Une approche utilisant la technique de la transformation de Fourier permet d'obtenir analytiquement les expressions de la distribution de la température, du flux thermique et du nombre de Nusselt. Les effets de la conduction axiale sont inclus dans ces expressions, à la fois pour les directions amont ou aval, pour des nombres de Péclet entre 0 et ∞. En prenant la transformée de Fourier de la température et en développant les coefficients de la transformée de la température en fonction du nombre de Péclet, l'équation de l'énergie, avec température de paroi discontinue et conduction thermique longitudinale, est transformée en un système d'équations différentielles, lesquelles sont résolues successivement. Des courbes représentatives, sont données pour illustrer la variation de la température moyenne, du flux thermique et du nombre de Nusselt avec des paramètres pertinents. Le nombre de Nusselt asymptotiques pour les petits ou les grands nombres de Péclet est obtenu égal à 3,6565 au lieu de la valeur classique de 3,6568. On discute aussi la signification de chaque courbe. Die konvektiven Wärmeübertragungs-Eigenschaften einer hydrodynamisch voll ausgebildeten viskosen Strömung in einem kreisrunden Rohr werden ohne vereinfachende Annahmen, wie niedrige Reynolds- oder Peclet-Zahlen, analysiert. Hierbei wird das Rohr einer sprunghaften Änderung der Wandtemperatur ausgesetzt. Eine direkte Näherung mit Hilfe der Technik der Fourier-Transformation wird verwendet, um analytische Ausdrücke für Temperaturverteilung, Wärmestrom und Nusselt-Zahlen zu erhalten. Die Effekte der axialen Wärmeleitung gehen in diese Ausdrücke mit ein, sowohl in aufwärtsals auch abwärtsgerichteten Strömungen für Peclet-Zahlen zwischen null und unendlich. Der Energiesatz mit unstetiger Wandtemperatur und längsgerichteter Wärmeleitung wird in eine Schar von gewöhnlichen Differentialgleichungen überführt, wobei zuerst die Fourier-Transformation des Temperaturfeldes genommen wird und die Koeffizienten der umgewandelten Temperatur in Abhängigkeit von der Peclet-Zahl angegeben werden. Die so erhaltene Schar von Gleichungen wird deraufhin sukzessive gelöst. Die typischen Kurven, die die Änderung von Gesamt-Temperatur, Wärmestrom und Nusselt-Zahlen mit den dazugehörigen Parametern zeigen, sind grafisch dargestellt. Die asymptotische Nusselt-Zahl ergibt sich für kleine ebenso wie für groβe Peclet-Zahlen zu 3,6565, während der genaue klassische Wert 3,6568 beträgt. Die Besonderheit jeder einzelnen Kurve wird ebenfalls diskutiert. Бeз пrиVлekheNNя TAкич uпroщeNNыч пreдпoлoжeNий, кAк Nизкиe khиsлA reйNoльдsA или Пeклe, ANAлизиruюTsя чArAкTerиsTики кoNVeкTиVNoгo TeплoпereNosA пrи гидroдиNAмиkhesки пoлNosTью rAзиToм Vязкoм TekheNии V кruглoй Truбe. зATeм пroизVoдиTsя sTuпeNkhATый NAгreV sTeNки Truбы. s цeлью пoлukheNия ANAлиTиkhesкич VыrAжeNий для TeмпerATurNoгo пoля, TeплoVoгo пoToкA и khиseл NusseльTA иsпoльзueTsя пrямoй пoдчoд, osNoVANNый NA мeToдe пreoбrAзoVANий фurьe. V эTич VыrAжeNияч ukhиTыVAюTsя AкsиAльNAя TeплoпroVoдNosTь кAк VVerч, TAк и VNиз пo пoToкu пrи khиsлAч Пeклe, измeNяющичsя oT 0 дo ∞. 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