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BIBTEX RIS

O Método De Rayleigh-Ritz aplicado a um Problema de Deflexão de Viga utilizando o Matlab

2014; Linguagem: Português

10.5540/03.2014.002.01.0071

2359-0793

Yuri Elias Rodrigues, Daniel Da Silva Rodrigues, Eliete Biasotto Hauser,

Mechanical Engineering and Vibrations Research

Este trabalho tem como objetivo avaliar os resultados do Método de Rayleigh-Ritz (MRR) aplicado ao seguinte Problema de Valor de Contorno (PVC) que modela a deflexão de uma viga apoiada sobre seus extremos: { ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) A solução exata de ( ) ( ) é aproximada por uma combinação linear de funções de base . ( ) ( ) As funções devem satisfazer as condições de fronteira e serem linearmente independentes. Para atender esta imposição selecionamos como funções de base, as funções lineares por partes expressas por: ( ) { ilustradas graficamente na figura . Em ( ) temos que . A escolha deste espaçamento não constante, possibilita que a aproximação seja melhorada utilizando o mesmo número nodos. ( ) Figura . Representação gráfica de ( ). ( ) ( ) ( ) (7) Para determinar os coeficientes é necessário, de acordo com [ ], minimizar o funcional associado ao PVC ( ), portanto, de forma geral temos que: ( ) ( ) [ ( ) ] ( )[ ( )] ( ) ( ) Para tanto, substituímos (2) na equação ( ) obtendo: { ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) } O valor mínimo do funcional ocorre quando sua derivada parcial em relação á é igual a , ou seja Então, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A equação ( ) pode ser representada matricialmente na forma , onde é uma matriz tridiagonal de ordem , e seus elementos são expressos por { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Os elementos do vetor são dados por ( ) ( ) Para validar a solução aproximada de ( ) consideremos o PVC que tem solução conhecida: { ( ) ( ) ( ) ( ) O qual tem solução exata ( ) ( )( ) O algoritmo MRR foi implementado em linguagem de programação do software Matlab. Com , e , e assumindo respectivamente os valores , e , ilustramos graficamente os resultados na figura , em que: a aproximação obtida pelo MRR, ( ), esta em azul; a solução exata, ( ), esta em vermelho; o erro absoluto, ( ) ( ) ( ) , esta em verde. (11) ( ) ( ) (8) (9) (10) ( ) Figura 3. ( ) ( ) e ( ), com , e . Na tabela , são apresentados os valores dos erros absolutos para as simulações ilustradas na figura , e seu padrão sugere a convergência de ( ) para ( ), à medida que aumentarmos a quantidade de nodos. Adicionalmente podemos verificar nas simulações que o erro é maior no centro do intervalo, portanto a liberdade de escolha de cada pode ser usada para limitar o erro absoluto máximo. Por exemplo, para com , e , o erro absoluto máximo é aproximadamente.