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L'œuvre mathématique de Poincaré

1921; Mittag-Leffler Institute; Volume: 38; Linguagem: Francês

10.1007/bf02392071

1871-2509

Jacques Hadamard,

History and Theory of Mathematics

POINCARfi lui-m6me a fourni aux lecteurs des Acta une analyse d6taillde de son oeuvre. 1On comprendra que, sur tousles points qui ont ~t~ port,s ~ leur connaissance dans un des styles les plus lumineux, les plus d~finitifs que la ]angue scientifique --et la langue frangaise --aient connus, nous nous croyions dispenses d'insister.I1 nous arrivera done tr~s souvent de renvoyer ~ ]'Analyse dont il s'agit.NOUS n'essaierons pas, d'autre part, de chercher dans tout l'ensemble de cette oeuvre une unit6, d'en d6gager une personnalit6 intellectuelle.Cette tentative, qui s'imposerait pour tout autre, serait, h notre sens, chim6rique en ce qui concerne POINCAR]i, et nous croirions diminuer en m~me temps que d6naturer son oeuvre en nous y essayant.Ce serait m6connaitre cette pens~e (~capable de faire tenir en elle routes les autres pens6es, de comprendre jusqu'au fond, et par une.sorte de d6eouverte renouvel6e, tout ee que la science humaine peut aujourd'hui comprendre)).~ Assur6ment, tout penseur tend ~ marquer de son sceau personnel ce que son cerveau fa~onne.Mais si cette tendance est une des forces de l'artiste, le savant, lui, bien loin de chercher ~ l'entretenir, la subirait plutSt.Elle est, chcz lui, combattue par une n6cessit6 toute contraire, celle de l'objectivit6.>>Nous sommes serviteurs plutSt que maitres en math6matiques)), aimait h dire H~R-~I~TE, et l'adage tout analogue de BACON est aussi vrai des math6matiques elles m~mes que des sciences exp6rimentales: Le savant ~ surtout le math~ma-9 1 Analyse de ses travaux scientifiques.Acta Math.tome 38.P.~IN].EV~, Temps du i8 Juillet I912.1 L'exemple des fonctions fuchsiennes est prdcisdment, on le sait, celui que POINCAR~ a choisi pourddcrire au point de rue psychologique, l'invention math(~matique et montrer le r61e essentiel qu'y joue l'inconscient.Ajoutons que, chez POINC).R~, l'idde premibre d'une recherche est toujours raise en dvidence avee une merveilleuse nettetd qu'on est loin de trouver toujours au m~me degr(~ chez les plus grands maitres.C'est dire que l'accusation d'obscuritd lancde parfois centre hfi nous paralt, du moins au point de vue du lecteur qui va au fond des choses, exprilner le contraire de 1~ v~ritd.Voir son Analyse, p. 43 L'ceuvre math~matique de Poincar~. 209I1 poss~de m~me la seeonde propri~t~ par laquelle, entre Ies groupes finSaires diseontinus, POINCAR~ distingue les groupes fuehsiens, ~ savoir celle de laisser invariant un certain cercle (dit eercle fondamental).Mais il restait s s'inspirer plus ~troitement encore de l'exemple des fonctions elliptiques: je veux dire, conform~ment ~ ce qui precede, ~ partir a priori du groupe en question, en laissant de cSt~ d'abord l'~quation diff6rentielle.I1 fallait m~me faire un pas de plus, et cette premiX, re transformation de la question, suffisante dans les cas trait6s ant4rieurement, ne l'~tait plus cette lois; c'est sans doute pour cette raison que les d~couvertes mentionn~es plus haut d'HERMITE et de SCHWARZ ~taient jusque lk rest6es isol6es et n'avaient pas mis sur ]a voie de l'infinie multiplicit~ d'autres groupes analogues qui allait s'offrir h POINCAR~.Dans le probl~me aetuel, on ne remonte pas assez loin en s'adressant ~ la notion du groupe, trop complexe elle m~,me pour nous servir de fondement premier.Il faun, si nous osons nous exprimer ainsi, placer plus bas encore les fondations et appuyer ~ son tour la notion du groupe sur un autre substratum.Ce substratum est essentiellement g~om~trique: POINCAR]i le trouve dans le polygone .gdndrateur,c'est-~-dire ~ dans la figure qui est au groupe ee que le parall~logramme des p~riodes est h la double p~riodicit~.Cette notion intervenait forc6ment dans les exemples d'HERMITE et de SCHWARZ.Mais POINCARk montre qu'elle caract5rise tout groupe discontinu.Pure intuition dans le premier M4moire sur les groupes fuehsiens, ce fait est 6tabli en toute rigueur dans un des M~moires suivants ~, et une r~gle g~n~rale est ~nonc~e d'apr~s laquelle, ~ chaque point, on peut faire correspondre un de ses transform~s et un seul (s des cas limites pros) de mani~re que, le premier prenant toutes les positions possibles, Ie second d~crive le po]ygone gdn4rateur demandS.Mais, nous l'avons dit, loin de chercher syst~matiquement ce dernier en parrant du groupe, PO~NCA~]i suit bien plut6t la marche inverse et part de la notion du polygone, aussi intuitive pour nous que celle du groupe nous est, au fond, peu famili~re encore.L'expression de (~polygone g4n~rateur~) exprime d'une mani~re parfaite comment ]kS choses se passent dans l'Ana]yse de Po~c~: c'est lui qui engendre v~ritablement le groupe.Non seulement il suffit enti~rement h.le d~finir, mais on lit imm~diatement et sans la moindre difficultd, sur cette figure, toutes les propri4t~s essentielles que l'on veut en connaltre: substitutions fondamentalcs, relations entre ces substitutions, etc, En particulier, il convient de noter, au point de vue des applications des t Voir Analyse, p. 44.