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Ansätze zur begründung theoretischer terme in der mathematik—Die theorie des unendlichen bei Johann Schultz

1982; Elsevier BV; Volume: 9; Issue: 4 Linguagem: Alemão

10.1016/0315-0860(82)90107-0

1090-249X

Gert Schubring,

Philosophy, Science, and History

In dem Artikel wird der Beitrag des Königsberger Mathematikers Johann Schultz (1739–1805) zur Theorie des Unendlichen diskutiert. Im Gegensatz zur vorherrschenden Benutzung des Unendlichen als einer heuristischen Fiktion begründet Schultz die Realität des mathematischen Unendlichen und entwickelt, aus Anlaß seines Versuchs, das Parallelenpostulat zu beweisen, eine Theorie zum Operieren mit diesem Begriff. Trotz der Inkonsequenzen seiner Theorie, die sich vor allem in der Anwendung auf eine “Geometrie des Unendlichgroßen” auswirken, hat Schultz in seiner Theorie wichtige Fortschritte erzielt, so die Trennung der Begriffe von Zahl und Größe, die Einführung des Begriffs der Menge als Verallgemeinerung des Zahlbegriffs für das Unendliche und die Trennung des Unendlich-Kleinen vom Unendlich-Großen. Da die zeitgenössischen Mathematiker nicht die Inkonsequenzen von Schultz' Theorien und die fehlerhafte Anwendung in der Geometrie erkannten, vermuteten sie den Fehler im theoretischen Ansatz, der daher—bis auf Ausnahmen—nicht weiterentwickelt wurde. This article discusses a publication by the Königsberg mathematician Johann Schultz (1739–1805) on a theory of the infinite. Rather than develop the infinite as a useful heuristic fiction, Schultz establishes the reality of the mathematical infinite and develops this concept to prove the parallel postulate. Despite the inconsistencies of his theory, which appeared particularly in applications to a “Geometry of the Infinite,” Schultz achieved important advances in his theory, including the distinction between the concepts of number and magnitude, the introduction of the concept of set as a generalization of the number concept for the infinite, and the separation of the infinitely-small from the infinitely-large. Since contemporary mathematicians did not recognize the inconsistencies of Schultz' theories and their faulty application in geometry, they assumed the errors to lie in his theoretical foundations, which therefore, with but few exceptions, were not developed further. Dans cet article, je parle de la contribution apportée par Johann Schultz (1739–1805), mathématicien à Königsberg, à la formation de la théorie de l'infini. Schultz justifie—par contraste à l'utilisation prépondérante comme fiction heuristique—la réalité de de l'infini mathématique et développe, à l'occasion de sa tentative de prouver le postulat des parallèles, une théorie servant à opérer par ce concept. Malgré les éléments inconséquents de sa théorie dont les effets se font sentir surtout lors de l'application à une “géométrie de l'infiniment grand”, Schultz à réalisé des progrès théoriques importants, tels la séparation des notions de nombre et de quantité, l'introduction de la notion d'ensemble comme généralisation de la notion de nombre dans le domaine de l'infini, comme la séparation de l'infiniment petit et de l'infiniment grand. Les mathématiciens contemporains, ne saisissant pas les inconséquences des théories de Schultz et l'application fautive en géométrie, ont cherché la faute au point de départ théorique, qui n'a donc pas été poursuivi—à quelques exceptions près.