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Sui principali resultati ottenuti nella teoria dei gruppi continui dopo la morte di Sophus Lie (1898–1907)

1908; Springer Science+Business Media; Volume: 15; Issue: 1 Linguagem: Italiano

10.1007/bf02419764

1618-1891

Ugo Amaldi,

Italian Literature and Culture

Sui principali resultati ottenuti nella teoria dei gruppi continui dopo la morte di Sophus Lie (1898-1907)(*).(Di Uoo AMALDI, 0~ Modena.)IOOPHUS LIE, quando or son quasi dieci anni, scese nella tomba, del grandioso programma di lavoro, intorno a cui aveva esercitato la portenrosa sua potenza di iavenzione e di indagine, solo una part e aveva potuto estrinsecare in un insieme ben coordinato e connesso di teorie.Prescindiamo pur completamente dai problemi di integrazione, per considerare soltanto le teorie dei gruppi continui.Anche qui, mentre la teoria dei gruppi continui finiti, alla morte del LIE, si poteva riguardare oramai come sostanziatmente compiuta, pei gi~uppi infiniti (o dipendenti da pi~t che un numero finito di parametri arbRrari)il LIE non lasciava a noi che una sommaria trattazione dei fondamenti della teoria, accanto a scarsi e frammentari acceani di q~:mlle ulteriori vedute generali, che egli pure in questo campo, chissfi per quali audaci accorciatoie, aveva saputo conquistare.Accadde cosi che, in questo decennio, ben pochi si avventurassero nel campo non ancora dissodato dei gruppi infiniti; mentre alla teoria dei gruppi continui finiti, che in s~ raccoglieva il fascino di una concezione eminentemente geniale e le attrattive di un assetto oramai determinato e compteto, si volse una vera folla di cultori.Ma, quasi per compenso, mentre questa coorte di ricercatori, lasciati NOTA.Dopo la presentazione di questo rapporto al Congresso di Parma ~ uscito in luce il bellissimo articolo di G. FANo: Kontinuierliche geometrische Gruppen.Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip [Encykl.der math.Wiss., vol.III1].Ed io, prima di licenziare il manoscritto, me ne sono valso per completare in qualche punto le note bibliografiche di questo rapporto.(~) Rapporto letto a[ I Congresso della (( Societh Italiana per il progresso delle scienze >>, in Parma, settembre 1907.29-~ Ama ldi: Sui I)rincipMi resultati ottennti nelh, teoria dei gruppi oontiuui quasi del tutto da parte i problemi pitt larghi ed elevati, si adoprarono sovratutto a illustrare la teoria dei gruppi continui finiti nelle sue moltepliei applicazioni geometriche ed analitiehe, i poehi cultori delia teocia dei gruppi eontinui infiniti affrontarono, con variefft di spedienti e con elevatezza di vedute, le questioni pitt eomprensive e salienti; taleh~ ogg[ ~ in questo eampo ehe noi possiamo notate i progressi pih signifieativi della teoria dei gruppi eontinui.In queste eondizioni, sargt per me assai facile il eompito di riferir qui riassuntivamente i nuovi resuttati eonseguiti nella teoria dei gruppi infiniti; ma, per quanto riguarda i gruppi eontinui finiti, io non posso presumere ehe di un eosl vasto insieme di indagini, nulla sia sfuggito alia mia attenzione; n6, d'altro canto, fra una materia tanto differenziata, mi ~ leeita la spera.nzadi poter raggiungere quella rapidit'a e limpidezza di sintesi, ehe varrebbero a eompensare le temute e probabili defieienze di notizie.Io mi studierb bensi di raggruppare le indagini seeondo ie afiinit'a dei problemi eonsiderati e risolti: ma spesso queste at~nit'a saranno eosi tenui e eosi formall ehe io dovr6 proeedere enmnerando, anzieh6 elassifieando. TEORIA GENERALE DE[ GRUPPI CONTINUI FINITLPreadeado le mosse dai lavori di indole generale sulla teoria dei gruppi continui finiti, ricordo anzitutto a lcune ricerehe appartenenti a quetl'iudirizzo simbolico fl)rmale, a cui il LIE nella sua eostruzione aveva assegaato un ufficio del tutto secondario.l~ ben noto ehe le trasformazioni di un gruppo continuo ad r parametri, in un certo intorno della trasformazione identica, si possono riguardare come ottenute per iterazione infinita di certe ~a"-' trasformazioni infinitesime, le quali, rappresentate al modo det LIE mediante operatori differenziali lineari, danno luogo ad un insieme lineare che contiene con ogni coppia dei suoi operatori anehe la loro parentesi del Poisso~.Appar di qui che codesto insieme si pub considerate come un sistema di numeri ad r unith, chiuso rispetto alia somma ead una eerta partieolare operazione di moltiplicazione, non eommutativa, ma alternante.Dallo studio di un tal sistema di humeri eomplessi J. E. CAMPBELL (*), it POIN" (~) Proof of the third fuudamental theorem i~ Lie's theory of cmztinuous groups [Proceedings of the math.Society of London, t. 33 (190i)].I1 lavoro, per cui spetta al CA~eBELL dopo la morte di Sophus Lie (1898Lie ( -1907)).~95 C,~l~fi (*), il P.~scAr~ (**) e da ultimo lo HAUSDROFF (***) eercarono, per vie diverse e con singolare virtuosit'~ algoritmica, di giungere ai teoremi fondamentail de1 LIE e sopratutto alla costruzione effettiva di r trasformazioni infinitesime di un gruppo, quando ne siano fissate le costanti di composizione.Questa analisi ha ehiarito e precisato nei suoi limiti e nella sua portata l'aspetto operatorio e simbolico della teoria dei gruppi contiaui finiti.Ma appunto percib, dal punto di vista costruttivo della teoria, codeste ricerehe hanno approdato in buona parte a eonelusioni di validit~ esclusivamente formale; e d'altro canto hanno condotto a rifar presso a poco i proeedimenti stessi del Lm e dello Scr~uR, alrinfuori di quetle vedute sinte~iche e di quelle rappresentazioni geometriche, che sole possono rendere luminoso e placevole il cammino.In sostanza alle indagini suaeeennate sembra spettare piuttosto un interesse generico in ordine alia teoria algoritmiea dei numeri corn: plessi a pifi unit'S, anzi che un'importanza specifica rispetto alia teoria dei gruppi eontinui (****).la priorith in quest'ordine di ricerche, ~ anteriore ai decennio di cui qui ci occupiamo: Ou a Law of Combination of Operators [Proc. of the math.Soc. of Lond., t. ~8 (1907)].Esso b riprodotto in Theory of Continuous Groups (Oxford, 1903), Chapter IV, (*) Sur les groupes continus [Comptes rendus, t. 1~8 (1899)]; in extenso in [Memoirs presented to the Cambridge Phil.Soc. on the occasion of the Jubilee of Sir G. G. STO•ES, Cambridge, 1900].Quelques remarques sur les groupes continus [Rendic.del Cir.mat.di Palermo, t. 15 (190t).(*~) Sop~'a ateune identit~ fra i simboti operativi ~'appresentanti trasformazioni infinitesime [Rendie.Ist.Lomb.(~), t. 34 (1901)].--Sulla formola del prodotto di due trasformazioni finite e sulla dimostrazione del cosidetto secondo teorema fondamentale di LIE nella teoria dei gruppi [Ibid., ibid.].--Sopra i humeri Bernoulliani [Ibid., t. 35 (1902)].--Del terzo teorema di L1E sull'esistenza di gruppi di data struttura [Ibid., ibid.].--Altre ricerche sulla formola del prodotto di clue trasformazioni finite, e sul gruppo parametrico di un dato [Ibid., ibid.]. --Le precedenti ricerche sono riassunte in: Resumd de quelques-uns de rues rdcents travaux sur la thdorie des groupes de Lt~ [Prac matematyczno fizycznych, t. i4, Warszawa, (1903)].(~*) Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheo~'ie [Leipz.Berichte, Bd. 58 (t906)].(**~*) Alle ricerche suaccennate devonsi ravvicinare quelle di H. F. BA}~E]~, che ha applicato il caicolo simbolico delle matrici alla deduzione di risultati noti delia leoria dei gruppi continui fi~iti : On the exponential theorem for a simples transitive continuous group, and the calculatipn of the finite equations from the cow,slants of structu~'e [Proc. of the math.Soe. of London, t. 34 (1902)].--Further applications of matrix notation to integration problems [Ibidem., ibid.