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On the relation between ordinary and stochastic differential equations

1965; Elsevier BV; Volume: 3; Issue: 2 Linguagem: Inglês

10.1016/0020-7225(65)90045-5

1879-2197

Eugene Wong, Zakai Moshe,

Stochastic processes and statistical mechanics

The following problem is considered in this paper: Let xt be a solution to the stochastic differential equation: dxt = m[xt, t] dt+ σ[xt, t] dyt where yt is the Brownian motion process. Let xt(n) be the solution to the ordinary differential equation which is obtained from the stochastic differential equation by replacing yt with yt(n) where yt(n) is a continuous piecewise linear approximation to the Brownian motion and yt(n) converges to yt as n → ∞. If xt is the solution to the stochastic differential equation (in the sense of Ito) does the sequence of the solutions xt(n) converge to xt? It is shown that the answer is in general negative. It is however, shown that xt(n) converges in the mean to the solution of another stochastic differential equation which is: dxt = m[xt, t] dt + 12σ[xt, t](∂σ[xt, t]/∂xt)dt+ σ[xt, t]dyt. L'auteur étudie le problème suivant: xt est une solution de l'équation différentielle stochastique dxt = m(xt, t)dt + σ (xt, t)dyt où yt représente le mouvement Brownien. Soit xt(n), une solution de l'équation différentielle ordinaire, obtenue en partant de l'équation différentielle stochastique en remplacant yt par yt(n), oü yt(n) est une approximation linéaire continue du mouvement Brownien, convergeant vers yt lorsque n → ∞. Si xt est la solution de l'équation différentielle stochastique (prise dans le sens de Ito), la séquence des solutions xt(n) peut elle converger vers xt ? L'auteur montre que la réponse à cette question est en général négative. Il montre, cependant, que xt(n) converge, en moyenne, vers la solution d'une autre équation différentielle stochastique qui s'exprime par dxt = m[xt, t]dt+12σ[xt, t](∂σ[xt, t]/∂xt)dt + σ[xt, t]dyt. Dieser Beitrag befasst sich mit dem folgenden Problem: xt sei eine Lösung der stochastischeri Differentialgleichung: dxt = m(xt, t) dt + σ(xt, t) dyt, wo yt der Brownsche Bewegungsprozess ist. xt(n) sei die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung, und zwar erhält man diese von der stochastischen Differentialgleichung, indem man yt durch yt(n) ersetzt, wo yt(n) sich in kontinuierlichen Stücken und linear der Brownschen Bewegung annähert, und wo yt(n) auf yt konvergiert, wenn n gegen ∞ geht. Es erhebt sich die Frage: Konvergiert die Lösungsfolge xt(n) auf xt, ween xt die Lösung der stochastischen Differentialgleichung ist ? Es wird gezeigt, dass die Antwort im allgemeinen negativ ist. Es wird jedoch nachgewiesen, dass xt(n) im Mittelwert auf die Lösung einer anderen stochastischen Differentialgleichung konvergiert, nämlich dxt = m[xt, t]dt+12σ[xt, t](∂σ[xt, t]/∂xt)dt+σ[xt, t]dyt. In questa memoria viene considerato il seguente problema: Sia xt una soluzione dell'equazione differenziale stocastica: dxt = m(xt, t) dt + σ (xt, t)dyt in cui yt è il processo di movimento Browniano. Sia xt(n) la soluzione della equazione differenziale ordinaria ottenuta dall'equazione differenziale stocastica sostituendo yt come n → ∞. Se xt é la soluzione dell'equazione differenziale stocastica (nel senso di Ito), la sequenza delle soluzioni xt(n) convergerà su xt ? E' indicato come la risposta in generale sia negativa; è però dimostrato che xt(n) converge in media sulla soluzione di un'altra equazione differenziale stocastica che è: dxt = [xt, t]dt + 12σ[xt, t](∂σ[xt, t]/∂xt)dt + σ [xt, t]dyt. B paбoтe paccмaтpивaeтcя cлeдyющaя зaдaчa: Пycь xt. являeтcя peщeниeм cтoчacтичecкoгo диффepeнциaльнoгo ypaвнeния dxt = m(xt, t)dt + σ(xt, t)dyt, гдe yt oбoзнaчaeт пpoцecc движeния Бpayнa. Пycть xt(N) являeтcя peщним oбынoeeннoo диффepeнциaльнoгo ypaвнeния, пoлyчeннoгo из cтoчacтичecкoгo ypaвнeния пyтeм зaмeны yt нa yt(n), гдe yt(n) нeпpepывнaя, кycoчнo линeйнaя, aпpoгcимaцня движeкия Бpayнa и, чтo yt(n) cтpeмитcя к yt для n → ∞. Ecли xt являeтcя peщeниeм cтoчacтичecкoгo диффepeнциaльнoгo ypaвнeния (в cмыcлe Итo) имeeм вoпpoc: cчoдитcя пocдeлoвaтeльнocть peщeний xt(n) k xt? Дoкaзывaeтcя, чтo в oбщeм cлyчae, oтвeт бyдeт oмpццaмe ьным, нo дoкaзывaeтcя тaкжe, чтo xt(n) cчoдитcя в cpeнeм к peщeнию ∂pyoo cтoчacтичecкoгo ypaвнeния, для кoтopoгo имeeм; dxt = m[xt, t]dt + 12σ[xt, t](∂σ[xt, t]/∂xt)dt + σ[xt, t]dyt.