Portal de Periódicos da CAPES

Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme

1902; Mittag-Leffler Institute; Volume: 25; Linguagem: Francês

10.1007/bf02419020

1871-2509

Paul Painlevé,

Advanced Mathematical Modeling in Engineering

I. La dgtermination des transcendan~es uniformes dgfinies par les 6quations diffgrentielles alg6briques est un probl~me qui se trouve posg en fair depuis les travaux d'ABEI~ et de ffAcom sur l'6quation --(i ----C'est l'dtude de eerie gquation qui a engendrd la thgorie des fonetions ellipfiques et (par extension) celle des fonctions uniformes.Cette derni~re thgorie une lois fondge, il s'agissait moins de construire artificiellement des transcendantes nouvelles que de ddeouvrir, dans l'immense famille des transcendantes uniformes, celles qui peuvent servir ~ int6grer les 6quations diffdrentielles.La fonetion exponentielle, les fone~ions elliptiques 6taient les premiers types de telles fonetions; on ne tarda pas ~ en dgeouvrir d'autres, savoir les fonctions abdliennes, puis les intdgrules uniformes des dquations diffgrentielles lin~aires; enfin les fonctions fuchsiennes ou automorphes, hyper-fuchsiennes~ etc. Mais l'dtude de ces nouvelles transcendantes, si importante qu'elle ffit, ne permettait en aueune mani~re d'dpuiser le probl~me qui se posait d~s lots natarellement: Aeta mat~tiex~ 25.ImI~im~ le 16 novembre 1900. 1 2 P. Painlev6.D~terminer toutes les dquations diffdrentielles alggbriques du premier ordre, puis du second ordre, puis du troisi~me ordre, etc., dent l'int~grale est uniforme.2. Quand on ap])rofondit ce probl~me, on se h'ouve conduit ngcessairement ~ le dgcomposer en deux ])robl~mes successifs.Etant donnde une dquation diffdrentielle quelconque, les points critiques d'une intggrale y(x) sent, les uns fixes (ind@endants des constantes d'int6gration), les autres mobiles (variables avec ces constantes); ])our ex])rimer que l'int~grale est uniforme, il convient d'ex])rimer d'abo~d qu'elle n'a ])as de ])oints critiques mobiles, ensuite qu'elle n'a ])as de ])oints critiques fixes; et ces deux ])armies du ])robl~me exigent des mgthodes routes diffdrentes.On est amend ainsi ~ 61argir ]a classe d'dquations considdr6es et '~ dtudier les dquations dent l'int~grale gdndrale a ses points critiques fixes.~Ces gquations ])rdsentent d'ailleurs, en elles-m~mes, un intdr~t considdrable; elles constituent en effet le prolongement naturel des dquations lindaires.Toutes les ])ro])ridtds des gquations lindaires qu'entralne la fixitd des points critiques, s'dtendent aux nouvelles dquations, en ])articulier la mdthode d'intggration par les fonctions fuchsiennes.On congoit donc, sans qu'il faille insister davantage, l'importanee du ])roblbme qui consiste '~ dgterminer, ])armi les gquations diff6rentielles alg6briques, les d~uations tt ~oints critiques fixes.ltistovique de la question.3-D~s I855 , M. MI~RAY, BRIOT et BOUQUET, 2 WEIERSTRASS, 3 se sent attaquds au probl~me dans un cas partieulier, en 6tudiant les 6quai •ous r&servons exclusivement le nora de points critiques d'une fonction y(x) aux points singuliers (isol6s ou non) autour desquels deux branches au moins de y(x) se permutent.L'int~grale g6n6rale d'uue 6quation s points critiques fixes peut pr6senter des singularit6s essentielles mobiles.Comptes-Rendus de l'Aead~mie des sciences de Paris (I855--I856); Journal de l'Ecole Polytechnique, tome 21, cahier 36 (1856).--Voir aussi la Thdorie des fonctions ellipliques (2 ~me 6dition), livre 5, chapitre 4. s Les r6sultats de: WEIERSTRASS, qui servent de base s sa th6orie des fonctions elliptiques, semblent remonter ~ la m~me 6poque.Ils ont 6t6 enseign6s mais non publi6s.1 Journal de LIOUVILLE I889, 4 e s6rie, t. 5, P" 277--293.Comme ces conditions n'~taien~ ~tablies que moyennan~ certaines hypotheses simplificatrices faites sur l'~quatlon (I), il n'~tait pus d~montr~ qu'elles fussent ndcessaires pour que l'int~grale ffit uniforme.3 CRELLE, I898, r II9, p. 87~IIB, e~ I899, t.I20, p. II3--I3I.4