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Influence of the prandtl number on second-order heat transfer due to surface curvature at a three-dimensional stagnation point

1978; Elsevier BV; Volume: 21; Issue: 3 Linguagem: Inglês

10.1016/0017-9310(78)90120-5

1879-2189

Klaus Gersten, Heinz-D. Papenfuss, Joseph F. Gross,

Aerodynamics and Fluid Dynamics Research

The heat transfer at the stagnation point of a body in laminar, incompressible, three-dimensional flow is studied using second-order boundary-layer theory. The body is assumed to have two different principal curvatures at the stagnation point. The influence of the Prandtl number on the Nusselt number, in particular on the second-order terms resulting from longitudinal and transverse curvatures of the body surface, is shown. The conditions under which the contributions to the Nusselt number due to the transverse curvature effect and the longitudinal curvature effect cancel each other are demonstrated. Numerical results for a broad range of the Prandtl number (0.2 ≤ Pr ≤ 12) are given. The two limiting cases of very small and very large Prandtl numbers are considered using a perturbation analysis. Asymptotic expansions are obtained for both limiting cases; for very large Prandtl numbers, the method of matched asymptotic expansions is used to obtain the Nusselt number including both curvature effects. In the limiting case of very small Prandtl numbers, the first-order term for the Nusselt number, which is the result of Prandtl's boundary-layer theory, tends to zero as Prandtl numbers tend to zero. In contrast to this, the second-order contribution to the Nusselt number due to curvature approaches a finite, positive or negative value as Prandtl numbers tend to zero. Therefore, the second-order boundary-layer effect due to surface curvature gains significance in this case, and plays a key role for the heat transfer at stagnation points. Le transfert thermique au point d'arrêt d'un corps pour un écoulement laminaire, incompressible et tridimensionnel est étudié en utilisant la théorie au second ordre de la couche limite. On suppose que le corps à deux courbures principales différentes au point d'arrêt. On montre l'influence du nombre de Prandtl sur le nombre de Nusselt, en particulier sur les termes de second ordre résultat des courbures longitudinale et transversale sur la surface du corps. On précise les conditions pour lesquelles les contributions de l'effet des courbures s'annulent. On donne des résultats numériques pour un large domaine de nombre de Prandtl (0,2 < Pr < 12). Les deux cas limites des très petits et des très grands nombres de Prandtl sont considérés à travers l'analyse de perturbation. On obtient des développements asymptotiques pour ces deux cas; pour les très grands nombres de Prandtl, la méthode des développements asymptotiques est utilisée pour obtenir le nombre de Nusselt en incluant les effets de la courbure. Dans le cas des très petits nombres de Prandtl, le terme du premier ordre pour le nombre de Nusselt (qui est le résultat de la théorie de la couche limite selon Prandtl) tend vers zéro quand le nombre de Prandtl s'approche de zéro; par contre la contribution de second ordre au nombre de Nusselt par l'effet de courbure tend vers une valeur finie, positive ou négative lorsque le nombre de Prandtl tend vers zéro. Par suite, l'effet dû à la courbure de surface est significatif dans ce cas et joue un rôle important dans le transfert thermique au point d'arrêt. Der Wärmeübergang im Staupunkt eines Körpers wird unter Berücksichtigung der Glieder höherer Ordnung der Grenzschichtgleichungen für laminare, inkompressible und dreidimensionale Strömung untersucht. Für den Körper werden zwei verschiedene Krümmungen im Staupunkt angenommen. Der Einfluβ der Pr-Zahl auf die Nu-Zahl, speziell auf die Glieder zweiter Ordnung als Folge der Längs- und Querkrümmung der Körperoberfläche wird dargestellt. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen sich die Einflüsse von Längs- und Querkrümmung auf die Nu-Zahl gegenseitig aufheben. Für einen weiten Bereich der Pr-Zahl (0, 2 ≦ Pr ≦ l, 2) werden Zahlenergebnisse mitgeteilt. Die Grenzfälle der sehr kleinen und sehr groβen Pr-Zahl werden im Rahmen einer Störanalyse betrachtet. Für beide Fälle erhält man asymptotische Grenzwerte: Für sehr groβe Pr-Zahlen liefert die Reihenentwicklung die von beiden Krümmungen beeinfluβte Nu-Zahl. Für Grenzfall der sehr kleinen Pr-Zahl geht der Term erster Ordnung für die Nu-Zahl, der sich aus der Grenzschichttheorie Prandtls ergibt, gegen Null. Im Gegensatz hierzu nimmt das Glied zweiter Ordnung, welches die Krümmung berücksichtigt, einen endlichen positiven oder negativen Wert an, wenn die Pr-Zahl gegen Null geht. Der Grenzschichteffekt zweiter Ordnung gewinnt in diesem Fall an Bedeutung und nimmt eine Schlüsselrolle beim Wärmeübergang im Staupunkt ein. C пoмoщью тeopии пoгpaничнoгo cлoя втopoгo пopядкa изyчaeтcя тeплooбмeн в кpитичecкoй тoчкe тeлa в лaминapнoм, тpeчмepнoм пoтoкe нecжимaeмoй жидкocти. Пpeдпoлaгaeтcя, чтo тeлo в кpитичecкoй тoчкe имeeт двe paзличныe глaвныe кpивизны. Пoкaзaнo влияниe чиcлa Пpaндтля нa чиcлo Hycceльтa, в чacтнocти, нa вклaды втopoгo пopядкa, oбycлoвлeнныe пpoдoльнoй и пoпepeчнoй кpивизнaми пoвepчнocти тeлa. Paccмaтpивaютcя ycлoвия, пpи кoтopыч вклaды в чиcлo Hycceльтa, oбycлoвлeнныe пoпepeчнoй и пpoдoльнoй кpивизнaми, взaимнo yничтoжaютcя. Пpивoдятcя чиcлeнныe peзyльтaты для шиpoкoгo диaпaзoнa чиcлa Пpaндтля (0.2≤Pr≤ 12). C пoмoщью тeopии вoзмyщeний aнaлизиpyютcя двa пpeдeльныч cлyчaя мaлыч и бoльшич чиceл Пpaндтля. Для oбoич пpeдeльныч cлyчaeв пoлyчeны acимптoтичecкиe paзлoжeния; пpи бoльшич чиcлaч Пpaндтля для пoлyчeния чиceл Hycceльтa, c yчeтoм oбoич вклaдoв кpивизны, иcпoльзyeтcя мeтoд cpaщивaeмыч acимптoт. B пpeдeльнoм cлyчae мaлыч чиceл Пpaндтля вклaд пepвoгo пopядкa в чиcлo Hycceльтa, oпpeдeляeмoгo тeopиeй пoгpaничнoгo cлoя Пpaндтля, cтpeмитcя к нyлю вмecтe c чиcлoм Пpaндтля. B oтличиe oт этoгo, вклaд втopoгo пopядкa в чиcлo Hycceльтa, oбycлoвлeнный кpивизнoй пpиближaeтcя к кoнeчнoмy пoлoжитeльнoмy или oтpицaтeльнoмy знaчeнию, пo мepe тoгo кaк чиcлo Пpaндтля cтpeмитcя к нyлю. Bcлeдcтвиe этoгo эффeкт пoгpaничнoгo cлoя втopoгo пopядкa, oбycлoвлeнный кpивизнoй, пoвepчнocти, пpиoбpeтaeт вaжнoe знaчeниe и игpaeт ocнoвнyю poль в тeплooбмeнe в кpитичecкич тoчкaч.