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The length spectrum of Riemannian two-step nilmanifolds1

2000; Société Mathématique de France; Volume: 33; Issue: 2 Linguagem: Francês

10.1016/s0012-9593(00)00111-7

1873-2151

Ruth Gornet, Maura Mast,

Geometry and complex manifolds

This paper has three main theorems. First, we express the length spectrum of a Riemannian two-step nilmanifold in terms of metric Lie algebra data. We use the length spectrum to motivate the definition of a new family of two-step nilpotent metric Lie algebras, which we call Heisenberg-like. This leads to our next result, the explicit computation of the length spectrum of all Heisenberg-like manifolds. Using a variety of characterizations of Lie algebras of Heisenberg type, we show that Heisenberg-like Lie algebras are their natural generalization. Finally, as an application in spectral geometry, we show that all known examples of two-step nilmanifolds that have the same Laplace spectrum on functions must also have the same length spectrum. Cet article contient trois théorèmes. Tout d'abord, nous exprimons le spectre des longueurs d'une nilvariété Riemannienne de rang deux au moyen de son algèbre de Lie munie d'une métrique. Nous utilisons le spectre des longueurs pour motiver la définition d'une nouvelle famille des algèbres de Lie nilpotentes de rang deux, munies d'une métrique, que nous appelons “Heisenberg-like.” Ensuite, nous calculons d'une manière explicite le spectre des longueurs de toutes les nilvariétés “Heisenberg-like.” En utilisant plusieurs caractérisations des algèbres de Lie de type de Heisenberg, nous prouvons que les algèbres “Heisenberg-like” sont une généralisation naturelle des algèbres de Lie de type de Heisenberg. Finalement, une application de notre théorie à la géométrie spectrale révèle que tous les exemples connus de nilvariétés de rang deux qui ont le même spectre du Laplacien pour les fonctions, doivent aussi avoir le même spectre des longueurs.