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Ricerche geometriche intorno al problema dei tre corpi

1913; Springer Science+Business Media; Volume: 21; Issue: 1 Linguagem: Italiano

10.1007/bf02419536

1618-1891

E. J. Wilczynski,

Advanced Numerical Analysis Techniques

Durante l'ultimo secolo la geometria ha fatto grandi progressi, ma questi progressi hanno avuto poea influenza sulla meeeanica.In questa Memoria voglio mostrare come si possano applieare eerte idee della geometria moderna ad un problema speciale ma importante della meecaniea: il problema dei tre eorpi.Le questioni ehe sorgono intorno a questo problema dal punto di vista geometrico sono numerosissime, e poche sono quelle the io ho potuto risolvere; ma i risultati ottenuti 1)aano un interesse speeiale per noi in questa occasione perch~ si legano strettamente atle notissime ricerehe det LAOlaa~'GE.Supponiamo ehe il barieentro del sistema dei tre eorpi sia in riposo.Si presentano naturalmente tre generi di enti per lo studio geometrieo : le curve descritte da ognuno dei tre eorpi, le superfieie rigate deseritte dalle rette ehe eongiungono due dei tre eorpi, ed il eono, inviluppo del piano dei tre eorpi.Dalla eonsiderazione di questi tre generi di enti geometriei sorgono subito ateuni problemi fondamentali.Quail sono ]e variabil~ dalle quail dipendono le propriet~ pi'h essenziaii di queste curve, di queste supertieie rigaie e di questo eono?Se ad un dato momento le tre veloeith staano nel piano stesso dei tre eorpi, ie orbi[e saranno evidentemente curve piane ete rigate del problema eoineideranno col piano eomune de]le tre orl)ite.Si possono trovare altri easi nei quail uno atmeno dei tre eorp[ abbia come orbita una eurva piana12 Si possono trovare altri casi nei quali una delle rigate del problema diventa sviluppabile o si riduee ad un eono !2 Noi mostreremo ehe Annali di Matematica, Serie IlL Tomo XXI. 1 ]Vilezynski: Rieerche geomeb'iche ,moruo al probtema dei b'e eorpi.qtlest'ultimo easo pub presentars[ sol[anto se due lati det triangolo dei tre eorpi restano eostantemente eguali.Supponiamo inveee ehe la eurva, deseritta da uno dei t,'e eorpi, sia linea asintotiea sopra una delle rigate del problema.Troveremo ehe, anche in questo easo, due lati del triangolo devono rimanere eostantemente eguali.Si 1)reseuta dunque it problema dell'esistenza o delia non-esistenza (li soluzioni speeiali del problema dei tre eorpi nelle quali il triango[o testa sempre isostele.Volendo generalizzare le note soluzioni del La(maa'6~ (*) helle quali il triangolo dei tre eorpi testa sempre equilatero, si vient allo stesso problema.[l grau(le matematieo, perb, ha esaurito le possibiliih in questa direzione; dimostreren)o it teorema seguente: Se due Icdi del triangolo [or mo~to dei tre corl)i restano semi)re egua, li, e se le masse dei due eorpi ehe slanno alla base di questo tricvngolo isoseele uon sono eguo, li, il terzo lato del triaugolo dev'essere eguate agli altri due, cosicch~ il easo si ri~;~tee a quello del LAGI~ANGE.Se, invece, le due sopradette ma'sse souo egucdi, si possono troco~re due elassi nuove di soluzioni isosceli del probtema,, come ha~ mostrato il FRa~S~N gi& nel 1895 (**).Per (limostrare questo teorema io ho dovuto seguire una via, lunga e diffieile.Sono dunque molto grato a[ mio ehiarissimo eollega, il signore W. l).Mac MILLa~ per iI eortese permesso di riprodurre qui nel § 4~, inveee della mia, la sua dimostrazione pifi perspieua e sempliee.