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The Poincaré-Volterra theorem: a significant event in the history of the theory of analytic functions

1984; Elsevier BV; Volume: 11; Issue: 2 Linguagem: Inglês

10.1016/s0315-0860(84)80007-5

1090-249X

Giorgio Israel, Laura Nurzia,

Historical and Literary Studies

In this article we have reconstructed the history of the Poincaré-Volterra theorem (which asserts that the set of values of an analytic function in a point of its domain of definition is a set of countable power at most). For this purpose we have made use of unpublished material from the Volterra archives, conserved in the Accademia Nazionale dei Lincei. The appendixes provide transcripts of correspondence between Vito Volterra and Georg Cantor, of correspondence between Volterra and Giulio Vivanti, and a manuscript by Volterra. The history of the Poincaré-Volterra theorem clarifies some developments in the theory of analytic functions toward the end of the nineteenth century. In particular, we have shown that the attitude of some of the greatest mathematicians of the period toward Riemann's "geometric" theory was quite negative, while Weierstrass' "arithmetical" theory was regarded as fully satisfactory. Le but de cet article est d'analyser l'histoire de la découverte du théorème de Poincaré-Volterra: ce théorème démontre que l'ensemble des valeurs qu'une fonction analytique prend en un point de son domaine d'existence, est un ensemble qui a tout au plus la puissance du dénombrable. On a fait usage de matériaux inédits qui sont conserves dans les archives Volterra de l'Accademia Nazionale dei Lincei. Ii s'agit d'une correspondence entre Vito Volterra et Georg Cantor, d'une correspondence entre Volterra et Giulio Vivanti et d'un manuscript de Volterra: la transcription de ces lettres et du manuscript se trouve dans les Appendices de cet article. L'histoire du théorème de Poincaré-Volterra sert a éclaircir quelques aspects de l'état de la théorie des fonctions analytiques à la fin du dlx-neuvième siècle. On démontre que quelques uns parmi les plus grands mathématiciens de l'époque se méfiaient de la théorie de "géométrlque" Riemann, tandis qu'ils trouvaient satisfaisante la théorie "analytique" de Weierstrass. In questo articolo si ricostruisce la storia del teorema di Poincaré-Volterra (il quale asserisce che l'insieme dei valori di una funzione analitica in un punto del suo dominio d'esistenza è un insieme che possiede al più la potenza del numerabile). Allo scopo si fa uso di materiali inediti conservati nell'archivio Volterra presso l'Accademia Nazionale dei Lincei e la cui trascrizione è riportata nelle Appendici: un carteggio fra Vito Volterra e Georg Cantor, un carteggio fra Volterra e Giulio Vivanti ed un manoscritto di Volterra. La storia del teorema di Poincaré-Volterra è utile a chiarire alcuni aspetti dello stato della teoria della funzioni analitiche verso la fine dell'Ottocento. In particolare si mostra che l'atteggiamento di alcuni tra i massimi matematici dell'epoca nei confronti della teoria "geometrica" di Riemann era improntato a diffidenza, mentre essi trovavano pienamente soddisfacente la teoria "aritmetica" di Weierstrass.