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The Graetz problem with axial heat conduction

1974; Elsevier BV; Volume: 17; Issue: 11 Linguagem: Inglês

10.1016/0017-9310(74)90140-9

1879-2189

Michael L. Michelsen, John Villadsen,

Mathematical functions and polynomials

Using the Graetz problem with axial conduction as an illustrative example a method for solution of an important class of linear partial differential equations is developed. The method is a combination of orthogonal collocation and matrix diagonalization. The reason for the very high accuracy, which is obtained by collocation, is discussed in terms of the eigenvalues of the collocation operator. These are found to increase much faster than the true eigenvalues for k >N2 where N is the number of collocation points, and this permits a high accuracy also in the "penetration region" of the solution where Fourier Series are slowly convergent. Explicit formulas for the asymptotic Nu-number for large and small Pe-numbers are developed in an appendix. They are based on a perturbation of the eigenfunctions of the simplified model with either infinite or zero Pe-number. A number of variants of the Graetz problem, which can be solved by a repetition of the present computations, are proposed. Le problème de Graetz avec conduction thermique axiale est traité comme illustration d'une méthode de résolution d'une classe très importante d'équations linéaires aux dérivées partielles. La méthode est une combinaison de la collocation orthogonale et de la diagonalisation de matrice. La raison de la très grande précision, obtenue par collocation, est discutée à partir des valeurs propres de l'opérateur de collocation. On trouve qu'elles croissent plus vite que les valeurs propres vraies pour k >N2, oùN est le nombre de points de collocation et ceci permet aussi une grande précision dans la "région de pénétration" de la solution où les séries de Fourier sont lentement convergentes. On développe en appendice des formules explicites donnant le nombre de Nusselt asymptotique pour un nombre de Péclet soit grand, soit petit. Elles sont basées sur une perturbation des fonctions propres du modèle simplifié, avec un nombre de Péclet infini ou nul. On propose des variantes du problème de Graetz qui peuvent être résolues par une répétition des calculs présentés. Am Beispiel des Graetz-Problems mit axialer Wärmeleitung wird ein Lösungsverfahren für eine wichtige Klasse linearer partieller Differentialgleichungen entwickelt. Die Methode ist eine Kombination aus orthogonaler Kollokation und Matrix-Diagonalisierung. Der Grund für die durch die Kollokation erreichte sehr hohe Genauigkeit wird anhand der Eigenwerte des Kollokations Operators diskutiert. Es zeigt sich, daβ diese viel schneller anwachsen als die wahren Eigenwerte für k >N2—mit N als der Anzahl der Kollokations-Punkte; dies erlaubt eine hohe Genauigkeit auch in der "Durchdringungsregion" der Lösung, in der Fourier-Reihen langsam konvergieren. Explizite Ausdrücke für die asymptotische Nu-Zahl für groβe und kleine Pe-Zahlen werden in einem Anhang aufgestellt. Sie basieren auf einer Störung der Eigenwerte des vereinfachten Modells mit unendlich groβen oder sehr kleinen Pe-Zahlen. Weiter werden einige Varianten des Graetz-Problems, die durch eine Wiederholung der vorliegenden Berechnungen gelöst werden können, vorgeschlagen. Иc;пo;льзy;я зa;дa;khcy;y; Гp;e;тцa;. пp;и o;c;e;вo;й тe;плo;пp;o;вo;дh;o;c;ти в кa;khcy;e;c;твe; пp;имe;p;a;, p;a;зp;a;бo;тa;h; мe;тo;д p;e;щe;h;ия вa;зh;o;гo; клa;c;c;a; лиh;e;йh;ыч диффe;p;e;h;циa;льh;ыч y;p;a;вh;e;h;ий в khcy;a;c;тh;ыч пp;o;извo;дh;ыч. Me;тo;д пp;e;дc;тa;вляe;т c;o;бo;й кo;мбиh;a;цию o;p;тo;гo;h;a;льh;ыч кo;ллo;кa;ций и мa;тp;иkhcy;h;o;й диa;гo;h;a;лизa;ции. Bыc;o;кa;я тo;khcy;h;o;c;ть, пo;лy;khcy;e;h;h;a;я пy;тe;м кo;ллo;кa;ций, o;бъяc;h;яe;тc;я c; пo;мo;щью c;o;бc;твe;h;h;ыч зh;a;khcy;e;h;ий o;пe;p;a;тo;p;a; кo;ллo;кa;ций. Ha;йдe;h;o;, khcy;тo; c;o;бc;твe;h;h;ыe; зh;a;khcy;e;h;ия o;пe;p;a;тo;p;a; кo;ллo;кa;ций y;вe;лиkhcy;ивa;ютc;я гo;p;a;здo; быc;тp;e;e;, khcy;e;м иc;тиh;h;ыe; c;o;бc;твe;h;h;ыe; зh;a;khcy;e;h;ия пp;и K N2, гдe; N— khcy;иc;лo; тo;khcy;e;к кo;ллo;кa;ций, khcy;тo; тa;кзe; пp;ивo;дит к бo;льщo;й тo;khcy;h;o;c;ти в ⪡o;блa;c;ти пp;o;-h;икh;o;вe;h;ия p;e;шe;h;ия, в кo;тo;p;o;й мe;длe;h;h;o; c;чo;дитc;я p;яд фy;p;ьe;. B пp;илo;зe;h;ии пo;лy;khcy;e;h;ы фo;p;мy;лы в явh;o;м видe; для a;c;имптo;тиkhcy;e;c;кo;гo; khcy;иc;лa; h;y;c;c;e;льтa; пp;и бo;льщич и мa;лыч khcy;иc;лa;ч Пe;клe;. Oh;и o;c;h;o;вa;h;ы h;a; вo;змy;щe;h;ии c;o;бc;твe;h;h;ыч фy;h;кций y;пp;o;щe;h;h;o;й мo;дe;ли пp;и бe;c;кo;h;e;khcy;h;o;м или h;y;лe;вo;м khcy;иc;лe; Пe;клe;. P p;e;длa;гa;e;тc;я h;e;c;кo;лькo; вa;p;иa;h;тo;в зa;дa;khcy;и Гp;e;тцa;, кo;тo;p;ыe; мo;зh;o; p;e;щить пy;тe;м пo;втo;p;e;h;ия h;a;c;тo;ящич p;a;c;khcy;e;тo;в.