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Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass

2003; Elsevier BV; Volume: 336; Issue: 4 Linguagem: Francês

10.1016/s1631-073x(03)00031-1

1778-3569

Urban Cegrell, Ahmed Zériahi,

Holomorphic and Operator Theory

Let Ω⋐Cn be a hyperconvex domain. Denote by E0(Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω with boundary values 0 and finite Monge–Ampère mass on Ω. Then denote by F(Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω for which there exists a decreasing sequence (ϕ)j of plurisubharmonic functions in E0(Ω) converging to ϕ such that supj∫Ω(ddcϕj)n+∞. It is known that the complex Monge–Ampère operator is well defined on the class F(Ω) and that for a function ϕ∈F(Ω) the associated positive Borel measure is of bounded mass on Ω. A function from the class F(Ω) is called a plurisubharmonic function with bounded Monge–Ampère mass on Ω. We prove that if Ω and Ω are hyperconvex domains with Ω⋐Ω⋐Cn and ϕ∈F(Ω), there exists a plurisubharmonic function ϕ̃∈F(Ω) such that ϕ̃⩽ϕ on Ω and ∫Ω(ddcϕ̃)n⩽∫Ω(ddcϕ)n. Such a function is called a subextension of ϕ to Ω. From this result we deduce a global uniform integrability theorem for the classes of plurisubharmonic functions with uniformly bounded Monge–Ampère masses on Ω. To cite this article: U. Cegrell, A. Zeriahi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003). Soit Ω⋐Cn un domaine hyperconvexe. On désigne par E0(Ω) la classe des fonctions plurisousharmoniques sur Ω avec valeurs au bord nulle et de masse de Monge–Ampère finie sur Ω. On désigne par F(Ω) la classe des fonctions ϕ plurisousharmoniques négatives sur Ω, limite d'une suite décroissante (ϕj) de fonctions de E0(Ω) telle que supj∫Ω(ddcϕj)n<+∞. On sait que l'opérateur de Monge–Ampère est bien défini sur F(Ω) et que pour une fonction ϕ∈F(Ω), la mesure de Monge–Ampère associée est une mesure de Borel sur Ω de masse totale bornée. Une telle fonction sera dite de masse de Monge–Ampère bornée sur Ω. On démontre alors que pour tout domaine hyperconvexe Ω,Ω⋐Ω⋐Cn et tout ϕ∈F(Ω) il existe une fonction ϕ̃∈F(Ω) telle que ϕ̃⩽ϕ sur Ω et ∫Ω(ddcϕ̃)n⩽∫Ω(ddcϕ)n. Une telle fonction ϕ̃ est dite sous-extension de ϕ au domaine Ω. A partir de ce résultat, nous déduisons un théorème d'intégrabilté uniforme global pour les classes de fonction plurisousharmoniques sur Ω⋐Cn ayant des masses de Monge–Ampère uniformément bornées sur Ω. Pour citer cet article : U. Cegrell, A. Zeriahi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003).