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“What fermented in me for years”: Cantor's discovery of transfinite numbers

1995; Elsevier BV; Volume: 22; Issue: 1 Linguagem: Inglês

10.1006/hmat.1995.1003

1090-249X

José Ferreirós,

Philosophy and History of Science

Transfinite (ordinal) numbers were a crucial step in the development of Cantor's set theory. The new concept depended in various ways on previous problems and results, and especially on two questions that were at the center of Cantor's attention in September 1882, when he was about to make his discovery. First, the proof of the Cantor-Bendixson theorem motivated the introduction of transfinite numbers, and at the same time suggested the “principle of limitation,” which is the key to the connection between transfinite numbers and infinite powers. Second, Dedekind's ideas, which Cantor discussed in September 1882, seem to have played an important heuristic role in his decision to consider the “symbols of infinity” that he had been using as true numbers, i.e., as autonomous objects; to this end Cantor introduced in his work, for the first time, ideas on (well) ordered sets. Los números (ordinales) transfinitos constituyeron un paso clave en el desarrollo de la teoría de conjuntos de Cantor. La nueva idea dependió en varias formas de resultados y problemas previos, pero especialmente de dos cuestiones que ocuparon a Cantor en septiembre de 1882, estando a punto de realizar su descubrimiento. En primer lugar, el teorema de Cantor-Bendixson, cuya demostración motivó la introducción de los números transfinitos, y a la vez sugirió el “principio de limitatión” que constituye la clave de la conexión entre números transfinitos y potencias infinitas. En Segundo lugar, las ideas de Dedekind, que Cantor discutió en septiembre de 1882, parecen haber desempeñado un importante papel heurístico en la decisión de considerar los “símbolos de infinitud” que Cantor venía empleando como verdaderos números, esto es, como objetos autónomos; para ello, Cantor introdujo en su obra por vez primera consideraciones sobre conjuntos (bien) ordenados. Die transfiniten (Ordnungs)Zahlen stellten einen wesentlichen Schritt in der Entwicklung der Cantorschen Mengenlehre dar. Der neue Begriff war von verschiedenen früheren Problemstellungen and Resultaten abhängig, darunter besonders zwei Themen, die im Oktober 1882 im Mittelpunkt von Cantors Interesse lagen, als er auf die neue Idee kam. Erstens motivierte der Beweis des Cantor-Bendixsonschen Satzes die Einführung der transfiniten Zahlen und legte gleichzeitig das sogenannte Hemmungsprinzip nahe, welches die Verbindung zwischen transfiniten Zahlen and unendliche Mächtigkeiten herstellte. Zweitens scheinen Dedekinds Ideen, welche Cantor im September 1882 kennenlernte, eine wichtige heuristische Rolle bei dem Schritt gespielt zu haben, Cantors “Unendlichkeitssymbole” als wirkliche Zahlen, d.h. als selbständige Objekte, zu behandeln. Cantor sah sich dadurch veranlasst, zum ersten Mal Ideen über (wohl)geordneten Mengen in seine Arbeiten einzuführen.