Une remarque sur le problème des nappes de tourbillon axisymétriques sur R3
1992; Elsevier BV; Volume: 108; Issue: 2 Linguagem: Francês
10.1016/0022-1236(92)90026-f
ISSN1096-0783
Autores Tópico(s)Nonlinear Partial Differential Equations
ResumoOn a prouvé dans "Existence de nappes de tourbillon en dimension deux" (J. Amer. Math. Soc., à paraître) l'existence d'une solution au problème des nappes de tourbillon en dimension 2, lorsque le tourbillon initial est une mesure de signe fixe appartenant à l'espace de Sobolev H−1comp(R2). Pour cela, on a établi que si une suite (vε)ε de solutions de l'équation d'Euler, correspondant à une famille de régularisées de la condition initiale, converge faiblement vers une limite v, cette limite continue á satisfaire l'équation. Le but de cet article est de montrer que, dans le cas du probléme analogue pour des flots axisymétriques en dimension 3, la situation est radicalement différente: en effet, on prouve que soit la suite d'approximations est fortement convergente, soit sa limite faible n'est pas solution de l'équation. In "Existence de nappes de tourbillon en dimension deux" (J. Amer. Math. Soc., in press) we proved the existence of a solution to the vortex sheet problem in two dimensions, when the initial vorticity is a measure with fixed sign, belonging to the Sobolev space H−1comp(R2). To do so, we established that the weak limit v of a sequence (vε)ε of solutions of Euler equations, corresponding to a family of regularizations of the Cauchy data, still satisfies the equation. The aim of this paper is to show that a completely different phenomenon appears when one considers the analogous problem for three dimensional axisymmetric flows: in such a case, either the sequence of approximations is strongly convergent, or the weak limit is not a solution of the equation.
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