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The mathematical studies of G.W. Leibniz on combinatorics

1974; Elsevier BV; Volume: 1; Issue: 4 Linguagem: Alemão

10.1016/0315-0860(74)90032-9

1090-249X

Eberhard Knobloch, West Berlin,

Historical Linguistics and Language Studies

Leibniz considered the “ars combinatoria” as a science of fundamental significance, much more extensive than the combinatorics of today. His only publications in the field were his youthful Dissertatio de Arte Combinatoria of 1666 and a short article on probability, but he left an extensive (hitherto unpublished and unstudied) Nachlass dealing with five related topics: the basic operations of combinatorics, symmetric functions in connection with theory of equations, partitions (additive theory of numbers), determinants, and theory of probability and related fields. This paper concentrates on the first and third topics as they appear in published sources and the Nachlass. It shows that Leibniz was in possession of many results not published by other mathematicians until many decades later. These include a recursion formula for partitions of n into k parts (first published by Euler in 1751), the Stirling numbers of the second kind (first published in 1730), and several special cases of the general formula for partitions that was published only in 1840 by Stern. Leibniz fasste die “ars combinatoria” als eine Wissenschaft von grundlegender Bedeutung auf, die weit mehr umfasste als die heutige Kombinatorik. Seine einzigen Veröffentlichungen auf diesem Gebiet waren seine Jugendschrift Dissertatio de Arte Combinatoria aus dem Jahre 1666 und ein kurzer Aufsatz zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, aber er hinterliess einen umfangreichen, bisher unveröffentlichten und unbearbeiteten Nachlass, der sich mit fünf entsprechenden Themenkreisen befasst: die kombinatorischen Grundoperationen, die symmetrischen Funktionen im Zusammenhang mit der Gleichungslehre, Partitionen (additive Zahlentheorie), Determinaten, Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. Der vorliegende Aufsatz beschränkt sich auf den ersten und dritten Themenkreis, soweit diese in gedruckten und vor allem nachgelassenen Studien behandelt sind. Er zeigt, dass Leibniz viele Ergebnisse kannte, die von anderen Mathematikern erst viele Jahrzehnte später veröffentlicht wurden. Zu ihnen gehören eine Rekursionsformel für Partitionen einer natürlichen Zahl n in k Summanden (zum ersten Mal von Euler 1751 veröffentlicht), die Stirlingschen Zahlen 2. Art (zum ersten Mal 1730 veröffentlicht) und mehrere Spezialfälle der allgemeinen Formel für Partitionen, die erst 1840 von Stern gefunden wurde.