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Analytic properties of Euler products of Igusa-type zeta functions and subgroup growth of nilpotent groups

1999; Elsevier BV; Volume: 329; Issue: 5 Linguagem: Francês

10.1016/s0764-4442(00)88604-8

1778-3577

Marcus du Sautoy, Fritz Grunewald,

Algebraic Geometry and Number Theory

We prove asymptotic results for the number of subgroups of index at most n ∈ N in a finitely generated nilpotent group Г. These are obtained by applying a Tauberian theorem to the zeta-function of Г. To be able to do this we show that this Dirichlet series and also certain Euler products which arise from local Igusa-type p-adic integrals can be meromorphically continued past their abscissa of convergence. On démontre des résultats asymptotiques concernant le nombre des sous-groupes d’indice ≥ n ∈ N d’un groupe nilpotent de type fini. Ces résultats sont obtenus en appliquant un théorème taubérien à la fonction zêta associée à un tel groupe. Pour cela nous montrons que cette fonction zêta (qui est une série de Dirichlet) et aussi certains produits eulériens provenant d’intégrales locales p-adiques du type d’Igusa, peuvent être prolongés méromorphiquement au-delà de leur abscisse de convergence.