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On the differentiability of weak solutions of a degenerate system of PDE's in fluid mechanics

1988; Springer Science+Business Media; Volume: 151; Issue: 1 Linguagem: Italiano

10.1007/bf01762796

1618-1891

Joachim Naumann,

Stability and Controllability of Differential Equations

Nel presente lavoro si considera il sistema del moto stazionario di un fluido incompressibile $$\begin{gathered} - \frac{\partial }{{\partial x_j }}S_{ij} (D(u)) + \frac{{\partial p}}{{\partial x_i }} = f_i (i = 1,2,3), \hfill \\ div u = 0 \hfill \\ \end{gathered} $$ , in un aperto Ω ⊂ R3 (u=u1, u2, u3=velocità, D(u)=Dkl(u), Dkl(u)=1/2 (∂uk/∂xl + ∂ul/∂xk) (k,1=1, 2, 3), p=pressione). Le condizioni poste alle funzioni Sij, sotto le quali si studia questo sistema, sono realizzate in particolare per $$S_{ij} (\xi ) = 2^{{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} v_0 ||\xi ||^{\sigma - 2} \xi _{ij} se \xi \ne 0, S_{ij} se \xi \ne 0$$ dove v 0=cost > 0, 1< σ < 2 (ξ=ξij; i, j=1, 2, 3) [fluido pseudo-plastico]. Si dimostra che per ogni soluzione debole u del sistema suddetto vale $$\frac{{\partial ^2 u_i }}{{\partial x_k \partial x_l }} \in L_{loc}^\sigma (\Omega ), (1 + ||D(u)||^2 )^{(\sigma - 2)/4} D_{ij} \left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x_k }}} \right) \in L_{loc}^2 (\Omega ) (i,j,k,l = 1,2,3)$$ .